simple,跳楼机,[同余系最短路]

觉得之前写的跟shi一样，看了我博客的都更懵逼了，重写一部分

同余系最短路

Q:同余系是什么

A:所谓同余系最短路并不是拿同余方程跑最短路,而是跑最短路用同余方程优化

暴力的话就是暴力建边然后跑最短路,然而这样你肯定不行

Q:为什么要最短路

A:假设现在有$a,b,c,Z,e,f$

$a$是$a,b,c$中最小的

现在$e=a*x_1+Z$,$f=a*x_2+Z$

现在有$e<f$,那么有$e+a*y=f$

那么e+a可以凑出来的一些数,f是根本凑不出来的

e可以表示更多数

最短路中dis[o]中o对应的是e,o对应的是Z,我们把Z抽象成一个个位置,这样跑最短路找到用b,c可以凑出%a意义下为u的最小值

实际比如现在有一个数w,先%a得出i,那么dis[i]<=w表示可以凑出来(i可以通过加若干个a得到w),dis[i]若>w表示怎么样也凑不出来(越加越大),

所以要最短路

Q:为什么是对的

A:%a得到(0-a-1)可以证明+若干a达到1-正无穷每个数

解决了上述问题开始看几道题

simple

题解

这里给出一种傻逼做法,同余系最短路,

考虑简单容斥,拿$q-可以达到的解$

在得出一个可以达到的解我们可以任意拓展+任意多别的数达到其他值,我们可以利用这一优良性质

例如现在有$x=1,y=3$,$y$可以达到$3$那么我们可以$3+1*x,3+2*x,3+3*x$得到其他所有解,剩余还能有解的个数就是$(q-dis[i])/x+1$

于是构造在同余于$x$下的同余系,$dis[i]$表示不用$x$在$\%x后=i$需要的最少步数(例如现在有$x$,$y$,$z$,构造同余系$dis[i]$表示单纯用$y,z$到达$i$的最小步数)

为什么要$dis[i]$尽量小,$dis[i]$达到高度小,我们就可以用更多$x$来填充剩下路径

考虑暴力$dp$  $dis[(i+y)\%x]=min(dis[i]+y)$,形式相当于最短路形式,建从$i->(i+y)\%x$边跑$spfa$即可

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define A 555555
ll head[A],nxt[A],ver[A],edg[A],dis[A],vis[A];
ll t,tot,n,m,q;
void add(ll x,ll y,ll z){
    nxt[++tot]=head[x],head[x]=tot,ver[tot]=y,edg[tot]=z;
}
void spfa(ll o){
    memset(dis,63,sizeof(dis));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    deque<ll> q;
    dis[0]=0;
    vis[0]=1;
    q.push_back(0);
    while(!q.empty()){
        ll x=q.front();
        q.pop_front();
        for(ll i=head[x];i;i=nxt[i]){
            ll y=ver[i];
            if(dis[y]>dis[x]+edg[i]){
                dis[y]=dis[x]+edg[i];
                if(!vis[y]){
                    vis[y]=1;
                    q.push_back(y);
                }
            }
        }
        vis[x]=0;
    }
}
int main(){
    scanf("%lld",&t);
    while(t--){
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&q);
        if(n>m) swap(n,m);//n较小值
        memset(head,0,sizeof(head));
        memset(nxt,0,sizeof(nxt));
        tot=0;
        for(ll i=0;i<n;i++){
            add(i,(i+m)%n,m);
        }
        spfa(0);
        ll ans=0;
        for(ll i=0;i<n;i++){
            if(dis[i]<=q)
            ans+=(q-dis[i])/n+1;
        }
        ans--;
        printf("%lld
",q-ans);
    }
}

跳楼机

题面

求$k_1*x+k_2*y+k_3*z=[1,q]$解个数

题解

同样构造同余系最短路,$dis[i]$和上面定义类似,只用$y,z$走到的点$\%x=i$需要最短距离,

连边$add(i,(i+y)\%x,y)$,$add(i,(i+z)\%x,z)$求解,从当前点走还能走多少步$sumlimits_{i=0}^{i<x} (q-dis[i])/x+1$

代码和上面基本一样不放了

完全背包问题

题解

可以同余系最短路做，套路和上面一样

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define fhAK 666666
ll bag[fhAK],val[fhAK],flag[fhAK],tim[fhAK];
ll n,m,pos,L,C;
int main(){
    ll mod=0x7fffffffff;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(ll i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&val[i]);
        mod=min(mod,val[i]);
    }
    sort(val+1,val+n+1);

    memset(bag,0x3f,sizeof(bag));
    memset(tim,0x3f,sizeof(tim));
    scanf("%lld%lld",&L,&C);    
    pos=n;
    for(ll i=1;i<=n;i++){
        if(val[i]>=L){
            pos=i-1;
            break;
        }
    }
    deque<ll> q;
    bag[0]=0,tim[0]=0;
    q.push_back(0);
    while(!q.empty()){
        ll x=q.front();
        q.pop_front();
        flag[x]=0;
        for(ll i=1;i<=n;i++){
            ll tmp=(x+val[i])%mod;
            if(i>pos&&tim[x]==C) break ;
            if(bag[tmp]>bag[x]+val[i]){
                bag[tmp]=bag[x]+val[i];
                if(i>pos) tim[tmp]=tim[x]+1;
                else tim[tmp]=tim[x];
                if(!flag[tmp]){
                    q.push_back(tmp);
                    flag[tmp]=1;
                }
            }
            else if(bag[tmp]==bag[x]+val[i]){
                if(i<=pos){
                    if(tim[tmp]>tim[x]){
                        tim[tmp]=tim[x];
                        if(!flag[tmp]){
                            q.push_back(tmp);
                            flag[tmp]=1;
                        }
                    }
                }
                else{ 
                    if(tim[tmp]>tim[x]+1){
                        tim[tmp]=tim[x]+1;
                        if(!flag[tmp]){
                            q.push_back(tmp);
                            flag[tmp]=1;
                        }
                    }
                }
            }
        }
     }
     for(ll i=1;i<=m;i++){
         ll w,x;
         scanf("%lld",&x);
         w=x%mod;
         if(bag[w]<=x)
         printf("Yes
");
         else printf("No
");
     }
}