关于整数划分的几类问题

概念：所谓整数划分，是指把一个正整数写成几个正整数的和的形式，即 n=∑m_i

　　其中，1≤m_i≤n,{m₁,m₂,...,m_k}是n的一个划分。如果max{m_i}≤M,则称{m₁,m₂,...,m_k}属于n的一个M划分。

例如：

6 = 6
   = 5+1
　= 4+2
　= 4+1+1
　= 3+3
　= 3+2+1
　= 3+1+1+1
　= 2+2+2
　= 2+2+1+1
　= 2+1+1+1+1
　= 1+1+1+1+1+1

所以6一共有11个划分。

解决整数划分问题是基本上都是dp,但对于不同的问题有不同的转移状态，下面将会介绍几类问题。

1.求将n划分成k个正整数之和的划分数

设状态f[n][k]表示n划分成k个正整数之和的方案数，显然，当k>n时,f[n][k]=0, 当k=n时，f[n][k]=1.

下面考虑如何转移

对于k个数中不存在1的情况，我们可以把划分中每个数都减去1，剩下的数仍然大于0，即f[n][k]<----f[n-k][k]

对于k个数中存在1的情况，可以减去这个1，即f[n][k]<-----f[n-1][k-1]

结合两种情况可得转移方程为f[n][k]=f[n-k][k]+f[n-1][k-1]

2.求n的划分数

转移状态及转移方程如1，答案即为∑f[n][i]

3.求n关于m的划分数

这里要求划分出的数不能超过m，考虑以下几种情况

        (1)  当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};

        (2)  当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1};

        (3)  当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

              (a). 划分中包含n的情况，只有一个即{n}；

              (b). 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。

              因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

        (4) 当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n);

        (5) 但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：

               (a). 划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，可能再次出现m，是（n-m）的m划分，因此这种划分

                     个数为f(n-m, m);

               (b). 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1); 

因此 转移方程为 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

4. 求将n划分成若干个奇正整数之和的划分数

设f(n, k) 表示n的划分中最大值为k的划分数。

　　(1)当 k = 1 时，其结果只能为n个1，当 k 是偶数时，有f(n, k) == f(n, k-1)；

　　(2)当 k > n 时，有f(n, k) = f(n, n)，理由同1；

　　(3)当 n >= k 时，有 f(n, k) = f(n, k-1) + f(n-k, k) <此式中k为奇数，偶数可以对应前面的情况>，前半部分对应n的划分数中最大值不为k，那么可以从k-2开始，式中 k-1 的效果也能达到，同时还能在递推中防止出现下标为负的情况；

5.求n的划分数(n<=50000)

对于如此大的数据范围，需要用到欧拉的五边形定理来加速递推

F(n)表示n的划分数

F(n)=∑{F(n-p(n)/2)+F(n-p(-n)/2)}, 其中p(n)=3n²-n, n<0时F(n)=0,  n=0时F(n)=1即可

const mo=1000000007;
var
    N,i,j,M                                 :longint;
    opt                                     :longint;
    F                                         :array[0..50050] of int64;
    fi                                         :array[0..50050] of int64;
    a,b                                        :int64;

function ff(x:longint):longint;
begin
    exit((3*x*x-x) div 2);
end;

function gg(x:longint):longint;
begin
    exit((3*x*x+x) div 2);
end;


begin
    read(N);
    M:=trunc(sqrt(N));
    F[0]:=1;
    for i:=1 to N do
    begin
        j:=1;
        while ff(j)<=i do
        begin
            if (j and 1=1) then F[i]:=(F[i]+F[i-ff(j)]) mod mo else F[i]:=(F[i]-F[i-ff(j)]+mo) mod mo;
            inc(j);
        end;
        j:=1;
        while gg(j)<=i do
        begin
            if (j and 1=1) then F[i]:=(F[i]+F[i-gg(j)]) mod mo else F[i]:=(F[i]-F[i-gg(j)]+mo) mod mo;
            inc(j);
        end;
    end;
    writeln(F[N]);
end.