子群

目录

• 子群
  • 定义和例子
  • 子群的定义
  • 例子
  • 推论
    • 证明：
  • 练习题

子群

定义和例子

一个简单的方法来拆分任何带有一系列公理的数学结构的方法，来研究同样带有公理的数学结构。我们开始这个工程来研究群的子群。
第二个拆分数学结构的方法就是来研究它的商结构，商群的概念，这是一个方式来拆分一个群变成更小的群(我们将在下一个章节学习)

子群的定义

G为群，G的子集H是G的子群，如果H是非空的，H在积和逆运算下是封闭的。如果H是G的子群，我们记做(H < G)

例子

((ii))每一群G其实都有两个平凡的子群(H=G,H={1})

推论

(子群的标准:)(H)是(G)的子群，当且仅当：

((i)H eq varnothing)

((ii) forall x,y in H,xy^{-1} in H)

如果H是有限的，我们需要确定H的封闭性

证明：

首先指出这个证明是双向的，然后我们考虑，其实对于一个a来说，就有(x^{-1}x=e)的事实，我们这样就能得到(e)这个很重要的元素在(H)中，然后对于每个(a)来说，(ea^{-1})同样也在里面，我们就可以确认每个元素的逆元也在里面，显然群的性质就已经确认了(这个推论确实简化了子群的判别，子群的判别说到底是涉及了两个集合，(G,H)，推论从(H)里面出发，然后确定(G)与(H)的关系)

练习题

1. 在下面列出的(a)-(e)里面，证明 给定的子集是给定群的子群:
   (a)一个集合包含形式(a + ai,ainmathbb{R})的复数（在加法结合律下）
   (b)一个集合包含形式绝对值为1的复数, 例子:在平面上一个单位圆（在加法结合律下）
   (c)n为固定，分母为n的有理数的集合
   (d)n为固定，一个分母对于n来说是质数的有理数集合
   (e)非零实数集，其平方是有理数

8.(H)和(K)是(G)的子群 ，证明 (Hcup K) 是(G)的一个子群当且仅当 (H subset K)或者 (K subset H).
我们利用反证法,假设不成立 (H subset K)和 (K subset H),我们能得到(exists h in H,h otin K),因为(H cup K)是G的一个子群，所以(hk in H cup K),
我们有(h k in H)或者(h k in K),然后我们有(k=h^{-1}(h k) in H)，与假设矛盾
12.(A)为交换群，然后固定(n in mathbb{Z})我们证明下面的集合是A的子群：
((a){a^n|a in A})
((b){a in A |a^n =1})
证明(:(1)a^{n}b^{-n}=(ab^{-1})^{n})(利用交换群性质，把(a,b)弄得更加紧凑),然后根据群的性质,(ab^{-1} in A),((ab^{-1})^{n} subset A)
((2)) ((a b)^{m n}=underbrace{(a b)(a b) cdots(a b)}_{m n ext { times }}=a^{m n} b^{m n}),利用交换群性质，把(a,b)弄得更加紧凑，由于(a^n=e,b^m=e,a^{mn}={a^n}^{m}=e,b^{mn}={b^m}^{n}=e)