群同态与同构
群同态
(f:(G,cdot)
ightarrow(H, riangle)，
f(g_{1}cdot g_{2})=f(g_{1}) riangle f(g_{2}))
定义名称：
(f)为单射 (
ightarrow)单同态
(f)为满射 (
ightarrow)满同态
(f)为双射 (
ightarrow)同构
性质
单位元具有唯一性且单位元具有对应性:
(fleft(e_{1} ight)=fleft(e_{1}^{2} ight)=fleft(e_{1} ight) Delta fleft(e_{1} ight))
引理
(f:(G,cdot)
ightarrow(H, riangle))
则(Kerf ={e}
ightarrow f)为单同态
(Imf = {f(g)|g in G} ightarrow f)为满同态
群同构基本定理
(f :G
ightarrow H)
((G,cdot)
ightarrow (H, riangle))
(frac{G}{Kerf}cong Imf)
(left{Kerf=g|f(g)=e_{H}
ight} quad and quad Imf=left{f(g)|g in G
ight})
首先这个定理很直观，如果商集比较熟悉的话，一眼就可以看出来这个定理其实，对于(Kerf)的话，对应值域的(e),商掉(Kerf)的话，剩下的其实就是(Imf)
证明的话需要证明映射的良序性，单射和满射
证明：
(varphi:G ig/Kerf ightarrow Imf)
群第一同构定理：(Hig/(H cap K) cong HKig/K)
群同构第二定理
(G ig/ H cong (Gig/K)igg/(Hig/K))