矩阵链相乘助教版代码

题目描述

零崎有很多朋友，其中有一个叫jhljx。

jhljx大家很熟悉了，他数学不好也是出了名的，大家都懂。

现在jhljx遇到了矩阵乘法，他当时就懵了。数都数不清的他，矩阵乘法怎么可能会算的清楚呢？虽然零崎觉得还不如让你们来算，不过好歹也要给jhljx个面子，给她留下一个证明自己数学实力的机会。为了减小jhljx的计算量，让他赶快算出不正确答案来（估计他算上几遍都不一定能出一个正确答案），零崎请你们帮助jhljx。

输入

多组输入数据。

每组数据以N开始，表示矩阵链的长度。接下来一行N+1个数表示矩阵的行/列数。

1<=N<=300

输出

对于每组样例，输出一行最少运算次数的方案，每两个矩阵相乘都用“()”括起来，详见样例

如果存在多种解决方案,最终输出结果选取先计算左边的矩阵，详见Hint

输入样例

3
10 30 5 60
3
10 20 5 4

输出样例

((A1A2)A3)
((A1A2)A3)

Hint

对于输入的第二组数据,

如果计算顺序为((A1A2)A3)，结果为10×20×5 + 10×5×4= 1200,

如果计算顺序为A1(A2A3), 结果为20×5×4 + 10×20×4 = 1200

那么输出结果选取第一个

解题思路：

1、课堂上讲过的经典动态规划题：矩阵链乘问题（MCM）

给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2…，n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。

解答:我们按照动态规划的几个步骤来分析：

（1）找出最优解的性质，刻画其特征结构

对于矩阵连乘问题，最优解就是找到一种计算顺序，使得计算次数最少。

令m[i][j]表示第i个矩阵至第j个矩阵这段的最优解。

将矩阵连乘积 简记为A[i:j] ，这里i<=j.假设这个最优解在第k处断开，i<=k<j，则A[i:j]是最优的，那么A[i,k]和A[k+1:j]也是相应矩阵连乘的最优解。可以用反证法证明之。 这就是最优子结构，也是用动态规划法解题的重要特征之一。

（2）建立递归关系

假设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n] 。

当i=j时，A[i,j]=Ai, m[i,j]=0;(表示仅一个矩阵,如A1,没有和其他矩阵相乘,故乘的次数为0)

当i<j时，m[i,j]=min{m[i,k]+m[k+1,j] +pi-1*pk*pj} ,其中 i<=k<j

(相当于对i~j这段,把它分成2段,看哪种分法乘的次数最少,如A1,A2,A3,A4,则有3种分法:{A1}{A2A3A4 }、{A1A2}{A3A4 }、{A1A2A3}{A4 },其中{}表示其内部是最优解,如{A1A2A3}表示是A1A2A3的最优解),

也即（k为分隔点）：

（3）计算最优值

对于1≤i≤j≤n不同的有序对(i,j) 对于不同的子问题，因此不同子问题的个数最多只有o(n*n)

但是若采用递归求解的话，许多子问题将被重复求解，所以子问题被重复求解，这也是适合

用动态规划法解题的主要特征之一，这也是为什么很多人RE的原因，递归过多导致爆函数栈。

用动态规划算法解此问题，可依据其递归式以自底向上的方式进行计算。在计算过程中，保

存已解决的子问题答案。每个子问题只计算一次，而在后面需要时只要简单查一下，从而避

免大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法。

呈上代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
long long m[311][311];
long long p[311];
int s[311][311];
#define INF 9999999999
void print(int i,int j)
{
    if(i==j)
        printf("A%d",i);
    else{
        printf("(");
        print(i,s[i][j]);
        print(s[i][j]+1,j);
        printf(")");
    }
}
int main() {
    long long n,t;
    int j;
    while(~scanf("%lld",&n)){
        for(int i=1;i<=n;i++)
            m[i][i]=0;
        for(int i=0;i<=n;i++)
            scanf("%lld",&p[i]);
        for(int l=2;l<=n;l++)
        for(int i=1;i<=n-l+1;i++){
            j = i+l-1;
            m[i][j]=INF;
            for(int k=i;k<=j-1;k++){
                t = m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
                if(t<=m[i][j])
                {
                    m[i][j]=t;
                    s[i][j]=k;
                }
            }
        }
        print(1,n);
        printf("
");
    }
}