数论-质数 poj2689,阶乘分解，求阶乘的尾零hdu1124, 求尾零为x的最小阶乘

/*
要求出[1,R]之间的质数会超时，但是要判断[L,R]之间的数是否是素数却不用筛到R
因为要一个合数n的最大质因子不会超过sqrt(n)
所以只要将[2,sqrt(R)]之间的素数筛出来，再用这些素数去筛[L,R]之间的合数即可 
*/
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define ll long long 

ll L,R,ans[1000005];
int v[10000007],prime[1000000],m,isprime[1000005];
void init(int n){
    memset(v,0,sizeof v);
    m=0;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(v[i]==0){
            v[i]=i;
            prime[++m]=i;
        }
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(prime[j]>v[i] || prime[j]>n/i) break;
            v[i*prime[j]]=prime[j];
        }
    }
}

int main(){
    init(10000000);//打表求出[2,10^7]之内的质数 
    while(scanf("%lld%lld",&L,&R)==2){
        if(L==1) L=2;
        memset(isprime,0,sizeof isprime);
        for(ll i=1;i<=m;i++){
            if(prime[i]>sqrt(R)+1)break;//超过sqrt(R)的质数就不用筛了
            for(ll j=(L-1)/prime[i]+1;prime[i]*j<=R;j++)
                if(j>1)isprime[prime[i]*j-L]=1; 
        }
        
        ll L1,R1,L2,R2,Max=-1,Min=99999999,tot=0;
        for(ll i=0;i<=R-L;i++)
            if(!isprime[i]) ans[tot++]=i+L;
        
        if(tot<=1) {
            puts("There are no adjacent primes.");
            continue;
        }
        for(int i=1;i<tot;i++){
            if(Max<ans[i]-ans[i-1]){
                Max=ans[i]-ans[i-1];
                L1=ans[i-1],R1=ans[i];
            }
            if(Min>ans[i]-ans[i-1]){
                Min=ans[i]-ans[i-1];
                L2=ans[i-1],R2=ans[i];
            }
        }
        printf("%lld,%lld are closest, %lld,%lld are most distant.
",L2,R2,L1,R1); 
    }
} 

/*阶乘分解：给定一个n，求分解n！的质因数，输出总共有多少质因数
思路：筛出1-N所有的质因数，质因数p在n!中出现的次数即p在1-n所有数中出现的次数之和，那么p出现了n/p次，p*p出现了n/p*p次，。。累加即可
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
#define ll long long 

int n,m,prime[1000005],v[1000005];
void init(int n){
    memset(prime,0,sizeof prime);
    memset(v,0,sizeof v);
    m=0;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(v[i]==0){
            v[i]=i;
            prime[++m]=i;
        }
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(prime[j]>v[i] || prime[j]*i>n) break;
            v[i*prime[j]]=prime[j];
        }
    }
}

int main(){
    init(1000005);
    while(scanf("%d",&n)==1){
        ll ans=0;
        for(int i=1;i<=m;i++){
            if(prime[i]>n) break;
            int j=prime[i];
            while(j<=n){
                ans+=n/j;
                j*=prime[i];
            }
        }
        printf("%d
",ans);    
    }
} 

//质数筛法
/*Era筛：
复杂度：O(nloglogn)非常接近线性
原理：任何质数x的倍数：2x,3x,...都是合数，优化后只要筛 >=x*x的数即可 
*/
void primes(int n){
    memset(v,0,sizeof v);//合数标记 
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(v[i]) continue;
        for(int j=i;i*j<=n;j++) v[i*j]=1; 
    }
} 

/*
线性筛
复杂度：O(n)
原理：每个数只被它最小的数筛一次 
*/
void primes(int n){
    memset(v,0,sizeof v);//每个数的最小质因子 
    memset(prime,0,sizeof prime);//质数集合 
    m=0;//质数数量
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(v[i]==0){//i是质数 
            v[i]=i;
            prime[++m]=i;
        }
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(prime[j]>v[i] || prime[j]*i>n) break;//如果i有比prime[j]小的质因子，或者超出n范围 
            v[i*prime[j]]=prime[j];//prime[j]是i*prime[j]的最小质因子 
        } 
    } 
} 

//质因数分解
/*
试除法
复杂度：O(sqrt(N))
原理：对于给定的n，枚举[2,sqrt(n)]中的每个数d，若n能整除d，则把n中所有的d除去 
*/ 
void divide(int n){
    memset(p,0,sizeof p);//n的质因子 
    memset(c,0,sizeof c);//个质因子的幂 
    m=0; 
    for(int i=2;i<=sqrt(n);i++){
        if(n%i==0){//i必定是质数 
            p[++m]=i,c[m]=0;
            while(n%i==0)n/=i,c[m]++;
        }
    }    
    if(n>1) p[++m]=n,c[m]=1;//n是质数 
} 

 hdu1124求阶乘的尾零

/*
阶乘求尾零
那就只要求出n!阶乘质因数分解后有多少2和5即可 
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll ans,n,ans1,ans2;
int main(){
    int T;
    cin>>T;
    for(int tt=1;tt<=T;tt++){
        cin>>n;
        ans1=ans2=0;
        ll tmp=n;
        while(n>=2)
            ans1+=n/2,n/=2;
        while(tmp>=5)
            ans2+=tmp/5,tmp/=5;
        ans=min(ans1,ans2);
        cout<<ans<<endl;
    }
} 

 light1138 二分答案，最后不要忘记验证答案，

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 100005
#define ll long long
ll n; 
int judge(ll mid){
    ll res=0;
    while(mid>=5)
        res+=mid/5,mid/=5;
    if(res>=n)return 1;
    return 0;
}
int main(){
    int T;
    cin>>T;
    for(int tt=1;tt<=T;tt++){
        cin>>n;//要有n个5因子 
        ll mid,l=5,r=1000000000,ans=-1;
        while(l<=r){
            mid=l+r>>1;
            if(judge(mid))
                ans=mid,r=mid-1;
            else l=mid+1;
        } 
        
        if(ans!=-1){
            ll tmp=ans,cnt=0;
            while(tmp>=5)
                cnt+=tmp/5,tmp/=5;
            if(cnt!=n)ans=-1;
        }
         
        if(ans!=-1)
            printf("Case %d: %lld
",tt,ans);
        else printf("Case %d: impossible
",tt);
    } 
}