单源最短路
dijkstra算法：只适用于没有负边权的图
算法流程：
1.初始化dist[st]=0，其余dist的值设置为INF
2.找出一个未被标记的，dist[x]最小的结点x，然后标记x
3.扫描x的所有边，进行松弛
4.2.3步骤重复n-1次
int a[maxn][maxn],d[maxn],n,m; bool v[maxn]; void dijkstra(){ memset(d,0x3f,sizeof d);//dist数组 memset(v,0,sizeof v);//标记数组 d[1]=0; for(int i=1;i<n;i++){ int x=0; for(int j=11;j<=n;j++)//第2步 if(!v[j] && (x==0 || d[j]<d[x])) x=j; v[x]=1; for(int y=1;y<=n;y++)//第3步 d[y]=min(d[y],d[x]+a[x][y]); } }
以上算法复杂度n^2。主要在于每次重复第2步，现在用堆来优化，用loge（如果用普通的优先对列是loge，但是用斐波那契堆可以到logn）时间获取最小值
dijkstra+堆优化（优化第2步）
void dijkstra(){ memset(d,0x3f,sizeof d); memset(v,0,sizeof v); d[1]=0; q.push(make_pair(0,1));//起点入队 while(!q.empty()){ int x=q.top().second;q.pop(); if(v[x])continue;//已经在集合里的点就不用再访问了 v[x]=1; for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].nxt){ int y=edge[i].to,z=edge[i].w; if(d[y]>d[x]+z){//把新的二元组插入堆中 d[y]=d[x]+z; q.push(make_pair(-d[x],y)); } } } }
为什么dij算法不能处理负边权：
因为dij算法能够依次将点加入到集合中，已经加到集合中的点的dist就无法再变动。
现在假设新加入的点是通过负边加入的，那么通过这条负边，其实有可能松弛集合中点的dist，但是已经规定了集合中的点无法更新，所以该算法无法成立（就是原来的贪心策略不成立了）
bell_man和spfa算法
bell_manford算法：单源最短路确定当且仅当边集合中所有边都满足三角形不等式，即图中任意一条边(x,y,z)都有d[x]+z>=d[y]
1.扫描所有边(x,y,z),若d[y]>d[x]+z,则松弛
2.重复上述步骤，若完成一轮扫描后没有进行松弛，则算法结束
算法中第i轮循环可以表示st经过最多i条边可以到达终点的最短路，显然最多n-1轮后st到所有点的最短路确定
因为第i轮中被松弛的点必定经过i条边，那么n-1轮中松弛的就是经过n-1条边的点，如果n轮还能松弛说明必定出现了环
和dij不同之处在于算法没有固定到某点的距离，而是不断进行松弛，也就是锁到各点的最短路到算法结束后才确定下来，因此可以处理dij无法处理的有负权边的情况
复杂度nm，算法最多执行n-1次，如果执行n-1次之后仍可以松弛，那么该图中有负环。
证明：从st经过n条边到k，且比经过任何少于n条边到k的权值更小
n条边中必定有一个环，那么，这个环必定是负环
spfa算法：队列优化的bellman_ford
1.建立一个队列，里面有st
2.取出头结点x，扫描其所有出边，松弛：若d[y]>d[x]+z,则更新d[y]，同时，若y不在队列中，将y加入队列（如果y在队列中并且被松弛，说明y是在同一轮边的遍历中被松弛的）
3.重复直到队列清空
能够保证需要更新的点都在队列中，当更新完成时队列就空了，相对于bellman_ford每次扫描所有边，spfa算法能够避免不需要的判断
对应于bellman_ford,每个点被松弛时入队，当一个点被入队n次时，则出现了负环
同时，一个点可能入队多次，但不会超过n-1次，否则就是有负环存在
int spfa(){ memset(d,0x3f,sizeof d); memset(v,0,sizeof v);//v数组用来判断i是否在队列里 memset(cnt,0,sizeof cnt);//用来判断负环是否存在 d[1]=0,v[1]=1; q.push(1); while(!q.empty()){ int x=q.front();q.pop(); v[x]=0; for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].nxt){ int y=edge[i].to,z=edge[i].w; if(d[y]>d[x]+z){ d[y]=d[x]+z; if(v[y]==0)q.push(y),v[y]=1; if(++cnt[y]>n)return false; } } } return true; }