散列表

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搜索关键词：散列函数、散列表、哈希函数、哈希表、Hash函数、Hash表

散列方法不同于顺序查找、二分查找、二叉排序树及B-树上的查找。它不以关键字的比较为基本操作，采用直接寻址技术。在理想情况下，无须任何比较就可以找到待查关键字，查找的期望时间为O(1)。

散列表的概念

1、散列表
设所有可能出现的关键字集合记为U(简称全集)。实际发生(即实际存储)的关键字集合记为K（|K|比|U|小得多）。
散列方法是使用函数h将U映射到表T[0..m-1]的下标上（m=O(|U|)）。这样以U中关键字为自变量，以h为函数的运算结果就是相应结点的存储地址。从而达到在O(1)时间内就可完成查找。
其中：
① h：U→{0，1，2，…，m-1} ，通常称h为散列函数(Hash Function)。散列函数h的作用是压缩待处理的下标范围，使待处理的|U|个值减少到m个值，从而降低空间开销。
② T为散列表(Hash Table)。
③ h(K_i)(K_i∈U)是关键字为K_i结点存储地址(亦称散列值或散列地址)。
④ 将结点按其关键字的散列地址存储到散列表中的过程称为散列(Hashing)

散列表上的运算 

散列表上的运算有查找、插入和删除。其中主要是查找，这是因为散列表的目的主要是用于快速查找，且插入和删除均要用到查找操作。

1、散列表类型说明：
#define NIL -1 //空结点标记依赖于关键字类型，本节假定关键字均为非负整数
#define M 997 //表长度依赖于应用，但一般应根据。确定m为一素数
typedef struct{ //散列表结点类型
KeyType key；
InfoType otherinfo； //此类依赖于应用
}NodeType；
typedef NodeType HashTable[m]； //散列表类型

2、基于开放地址法的查找算法
散列表的查找过程和建表过程相似。假设给定的值为K，根据建表时设定的散列函数h，计算出散列地址h(K)，若表中该地址单元为空，则查找失败；否则将 该地址中的结点与给定值K比较。若相等则查找成功，否则按建表时设定的处理冲突的方法找下一个地址。如此反复下去，直到某个地址单元为空(查找失败)或者 关键字比较相等(查找成功)为止。

（1）开放地址法一般形式的函数表示
int Hash(KeyType k，int i)
{ //求在散列表T[0..m-1]中第i次探查的散列地址hi，0≤i≤m-1
//下面的h是散列函数。Increment是求增量序列的函数，它依赖于解决冲突的方法
return(h(K)+Increment(i))％m； //Increment(i)相当于是d_i
}
若散列函数用除余法构造，并假设使用线性探查的开放定址法处理冲突，则上述函数中的h(K)和Increment(i)可定义为：
int h(KeyType K){ //用除余法求K的散列地址
return K％m；
}

int Increment(int i){//用线性探查法求第i个增量d_i
return i; //若用二次探查法，则返回i*i
}

（2）通用的开放定址法的散列表查找算法：
int HashSearch(HashTable T，KeyType K，int *pos)
{ //在散列表T[0..m-1]中查找K，成功时返回1。失败有两种情况：找到一个开放地址
//时返回0，表满未找到时返回-1。 *pos记录找到K或找到空结点时表中的位置
int i=0； //记录探查次数
do{
*pos=Hash(K，i)； //求探查地址hi
if(T[*pos].key==K) return l； //查找成功返回
if(T[*pos].key==NIL) return 0；//查找到空结点返回
}while(++i<m) //最多做m次探查
return -1； //表满且未找到时，查找失败
} //HashSearch

注意：
上述算法适用于任何开放定址法，只要给出函数Hash中的散列函数h(K)和增量函数Increment(i)即可。但要提高查找效率时，可将确定的散列函数和求增量的方法直接写入算法HashSearch中，相应的算法【参见习题】。

3、基于开放地址法的插入及建表
建表时首先要将表中各结点的关键字清空，使其地址为开放的；然后调用插入算法将给定的关键字序列依次插入表中。
插入算法首先调用查找算法，若在表中找到待插入的关键字或表已满，则插入失败；若在表中找到一个开放地址，则将待插入的结点插入其中，即插入成功。
void Hashlnsert(HashTable T，NodeTypene w)
{ //将新结点new插入散列表T[0..m-1]中
int pos，sign；
sign=HashSearch(T，new.key，&pos)； //在表T中查找new的插入位置
if(!sign) //找到一个开放的地址pos
T[pos]=new； //插入新结点new，插入成功
else //插人失败
if(sign>0)
printf("duplicate key!")； //重复的关键字
else //sign<0
Error("hashtableoverflow!")； //表满错误，终止程序执行
} //Hashlnsert

void CreateHashTable(HashTable T，NodeType A[]，int n)
{ //根据A[0..n-1]中结点建立散列表T[0..m-1]
int i
if(n>m) //用开放定址法处理冲突时，装填因子α须不大于1
Error("Load factor>1")；
for(i=0;i<m；i++)
T[i].key=NIL； //将各关键字清空，使地址i为开放地址
for(i=0;i<n；i++) //依次将A[0..n-1]插入到散列表T[0..m-1]中
Hashlnsert(T，A[i])；
} //CreateHashTable

4、删除
基于开放定址法的散列表不宜执行散列表的删除操作。若必须在散列表中删除结点，则不能将被删结点的关键字置为NIL，而应该将其置为特定的标记DELETED。
因此须对查找操作做相应的修改，使之探查到此标记时继续探查下去。同时也要修改插人操作，使其探查到DELETED标记时，将相应的表单元视为一个空单元，将新结点插入其中。这样做无疑增加了时间开销，并且查找时间不再依赖于装填因子。
因此，当必须对散列表做删除结点的操作时，一般是用拉链法来解决冲突。
注意：
用拉链法处理冲突时的有关散列表上的算法【参见练习】。

5、性能分析
插入和删除的时间均取决于查找，故下面只分析查找操作的时间性能。
虽然散列表在关键字和存储位置之间建立了对应关系，理想情况是无须关键字的比较就可找到待查关键字。但是由于冲突的存在，散列表的查找过程仍是一个和关键字比较的过程，不过散列表的平均查找长度比顺序查找、二分查找等完全依赖于关键字比较的查找要小得多。

（1）查找成功的ASL
散列表上的查找优于顺序查找和二分查找。
【例】在例9.1和例9.2的散列表中，在结点的查找概率相等的假设下，线性探查法和拉链法查找成功的平均查找长度分别为：
ASL=(1×6+2×2+3×l+9×1)/10=2.2 //线性探查法
ASL=(1×7+2×2+3×1)/10=1.4 //拉链法
而当n=10时，顺序查找和二分查找的平均查找长度(成功时)分别为：
ASL=(10+1)/2=5.5 //顺序查找
ASL=(1×l+2×2+3×4+4×3)/10=2.9 //二分查找，可由判定树求出该值

（2） 查找不成功的ASL
对于不成功的查找，顺序查找和二分查找所需进行的关键字比较次数仅取决于表长，而散列查找所需进行的关键字比较次数和待查结点有关。因此，在等概率情况下，也可将散列表在查找不成功时的平均查找长度，定义为查找不成功时对关键字需要执行的平均比较次数。
【例】例9.1和例9.2的散列表中，在等概率情况下，查找不成功时的线性探查法和拉链法的平均查找长度分别为：
ASL_unsucc=(9+8+7+6+5+4+3+2+1+1+2+1+10)/13=59/13≈4.54
ASL_unsucc=(1+0+2+1+0+1+1+0+0+0+1+0+3)/13≈10/13≈0.77
注意：
①由同一个散列函数、不同的解决冲突方法构造的散列表，其平均查找长度是不相同的。
②散列表的平均查找长度不是结点个数n的函数，而是装填因子α的函数。因此在设计散列表时可选择α以控制散列表的平均查找长度。
③ α的取值
α越小，产生冲突的机会就小，但α过小，空间的浪费就过多。只要α选择合适，散列表上的平均查找长度就是一个常数，即散列表上查找的平均时间为O(1)。
④ 散列法与其他查找方法的区别
除散列法外，其他查找方法有共同特征为：均是建立在比较关键字的基础上。其中顺序查找是对无序集合的查找，每次关键字的比较结果为"="或"!="两种可 能，其平均时间为O(n)；其余的查找均是对有序集合的查找，每次关键字的比较有"="、"<"和">"三种可能，且每次比较后均能缩小下次 的查找范围，故查找速度更快，其平均时间为O(lgn)。而散列法是根据关键字直接求出地址的查找方法，其查找的期望时间为O(1)。