( ext{来一波斐波那契公约数的证明}QwQ)
( ext{已知} {F_n} ext{为斐波那契数列,求证:})
[forall n,min ext{Z}^{+},(F_n,F_m)=F_{(n,m)}
]
( ext{证明:})
( ext{令}) (n<m)
( ext{用 }F_n ext{ 和 }F_{n+1} ext{ 表示 } F_{n+2},F_{n+3},F_{n+4},cdots)
[F_{n+2}=F_n+F_{n+1}
]
[F_{n+3}=F_n+2 imes F_{n+1}
]
[F_{n+4}=2 imes F_{n}+3 imes F_{n+1}
]
[cdotscdots
]
( ext{可观察到,上类等式中的 }F_n ext{ 和 }F_{n+1} ext{ 的系数也满足斐波那契数的性质})
[ herefore ext{易得 } F_m=F_{m-n-1} imes F_{n}+F_{m-n} imes F_{n+1}
]
[ herefore (F_n,F_m)=(F_n,F_{m-n-1} imes F_{n}+F_{m-n} imes F_{n+1})
]
( ext{又})
[F_n|F_{m-n-1} imes F_n
]
( ext{所以})
[(F_n,F_m)=(F_n,F_{m-n} imes F_{n+1})
]
引理:
[(F_n,F_{n+1})=1 ]证明:
- 对于 (n=1) 和 (n=2) 的情况,命题显然成立
- 对于 (nge2) 的情况
显然有 (F_n>F_{n-1}>F_{n-2})
又因为 (F_n=F_{n-1}+F_{n-2})
所以有 (F_n mod F_{n-1}=F_{n-2})
由欧几里得定理和引理可得[(F_n,F_{n-1})=(F_{n-1},F_n mod F_{n-1})=(F_{n-1},F_{n-2}) ][ herefore (F_n,F_{n-1})=(F_{n-1},F_{n-2})=(F_{n-2},F_{n-3})= cdots =(F_1,F_2)=1 ]证毕
( ext{根据引理可得})
[(F_n,F_m)=(F_n,F_{m-n})
]
( ext{综上})
[ ext{当}n<m ext{时},(F_n,F_m)=(F_n,F_{m-n})
]
( ext{可以观察到}, n ext{ 和 }m ext{变化规律完全符合更相减损术,所以会有})
[(F_n,F_m)=F_{(n,m)}
]
( ext{证毕})