题解 【NOIP2011】计算系数

【NOIP2011】计算系数

Description

给定一个多项式 (ax+by)^k ，请求出多项式展开后 x^n * y^m 项的系数。

Input

共一行，包含 5 个整数，分别为 a，b，k，n，m，每两个整数之间用一个空格隔开。

Output

输出共 1 行，包含一个整数，表示所求的系数，这个系数可能很大，输出对 10007 取模后的结果。

Sample Input

1 1 3 1 2

Sample Output

3

Hint

【数据范围】
对于 30%的数据，有 0≤k≤10；
对于 50%的数据，有 a = 1，b = 1；
对于 100%的数据，有 0≤k≤1,000，0≤n, m≤k，且 n + m = k，0≤a，b≤1,000,000。

Source

NOIP2011
数学，递推

解析

全班数学垫底的我竟然在讲数学题！！！

好吧它确实是一道数学题。

首先，二项式定理了解一下：

对于a与b的和的n次幂，

有：

所以，第r+1项的通式为：

 

因此，原式可化简为：

(ax)ⁿ (by)^m ×  C(k,n) //实在没图片了

所以只要求组合数取模，快速幂就行了。

然后，我就想到了拓展欧几里得，逆元，卢卡斯定理等神奇的东西。。。

其实并不需要这么复杂，

聪明的中国人早就有自己的东西：杨辉三角！！

所以只要递推求组合数就可以了！！

最后上AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

const int Mod=10007;
int a,b,k,m,n;
int f[1001][1001];

ll power(int a,int b){
    ll r=1;
    while(b){
        if((b&1)) r=r*a%Mod;
        a=(ll)a*a%Mod;
        b>>=1;
    }
    return r;
}

int main(){
    scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&k,&n,&m);
    for(int i=0;i<=k;i++){
        f[i][0]=1;
    }
    for(int i=1;i<=k;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            f[i][j]=((ll)f[i-1][j]+(ll)f[i-1][j-1])%Mod;
        }
    }
    ll ans=(ll)f[k][n]%Mod*(ll)power(a,n)%Mod*(ll)power(b,m)%Mod;
    ans%=Mod;
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}