康拓展开学习笔记

康拓展开

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　　给出一个全排列，求他是第几个全排列称为康拓展开。

暴力康拓展开

　　对于一个全排列来说，从左往右第i位，有 n + 1 - i 种选择。如果用变进制数表示的话，这一位就是 n + 1 - i 进制的数，如果这一位选择了第k种情况，那么对应的这一位就是k。(k从0开始）

　　比如：1 4 5 2 3 6 变成变进制数就是(022000）

• 首位1 是6种选择的第一种{1, 2, 3, 4, 5, 6}，所以变为0。
• 次位4 是5种选择的第三种{2, 3, 4, 5, 6}，所以变为2。
• 次位5 是4种选择的第三种{2, 3, 5, 6}，所以变为2。
• 次位2 是3种选择的第一种{2, 3, 6}，所以变为0。
• 次位3 是2种选择的第一种{3, 6}，所以变为0。
• 末位6 是1种选择的第一种{6}，所以变为0。

　　我们发现：第i位的值就是ai - 左边比它小的数的个数- 1。

for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
　　cin >> a[i];
　　int x = a[i];
　　for (int j = 1; j <= a[i]; ++j)
　　　　x -= vis[j];
　　vis[a[i]] = 1;
　　a[i] = x - 1;
} 

　　之后把变进制数转化成10进制就可以了

ll res = 0;
for (int i = 1; i < n; ++i)
　　res = (res + a[i]) * (n - i);

　　最后的答案是 res + 1。

优化

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　　刚才的算法复杂度有O(N ^ 2)，其实对于找左侧比ai小的数的时候，用树状数组维护一下就可以在log的时间内求出该值。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define forn(i, n) for (int i = 0; i < (n); i++)
#define forab(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); i++)
#define forba(i, b, a) for (int i = (b); i >= (a); i--)
#define mset(a, n) memset(a, n, sizeof(a))
#define fast ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0)
#define N 1000005
#define ll long long
const int Q = 998244353;
int a[N], c[N], n;
ll res;
inline int lowbit(int x) { return x & (-x); }
void add(int x,int d)
{
　　while(x <= n)
　　{
　　　　c[x] += d;
　　　　x += lowbit(x);
　　}
}
int sum(int x)
{
　　int s = 0;
　　while(x)
　　{
　　　　s += c[x];
　　　　x -= lowbit(x);
　　}
　　return s;
}
int main()
{
　　fast;
　　cin >> n;
　　forab(i, 1, n)
　　{
　　　　cin >> a[i];
　　　　add(a[i], 1);
　　　　if(i < n)
　　　　　　res = ((res + a[i] - sum(a[i] - 1) - 1) * (n - i)) % Q;
　　}
　　cout << (res + 1) << endl;
}

 (正在尝试手推逆向康拓展开。。。