poj 1201 Intervals（差分约束）

做的第一道差分约束的题目，思考了一天，终于把差分约束弄懂了O(∩_∩)O哈哈~

题意（略坑）：三元组{ai,bi,ci}，表示区间[ai,bi]上至少要有ci个数字相同，其实就是说，在区间[0,50000]上，每一个三元组表示[ai,bi]之间至少要标记ci个数字，问至少要标记多少个数字。

在学习差分约束的童鞋，建议看一下：09年姜碧野的《SPFA算法的优化及应用》，06年冯威的《浅析差分约束系统》，不过后者看起来较难搞懂，也可以看http://ycool.com/post/m2uybbf 写的很不错。

这里写一下我自己的一点心得：

1、差分约束求的是什么？

　　这里分为两种：求值，判环。

　　求值：如这道题所示，最终求的是整个区间上被标记点的最小数量，也就是从起点到终点的最小值，不需考虑判环的情况。更广泛的讲，它可以求解不等式的一组解。

　　判环：poj 1364判断存不存在，即判正负环。

2、差分约束中的松弛操作

　　举个最短路的例子，1->2 c=3，1->3 c=1，3->2 c=1，即以1为起点，d[2]>d[3]+w(3,2)，可以进行松弛。而三条边本身表示的是：a(2)-a(1)<=3，a(3)-a(1)<=1，a(2)-a(3)<=1，我们是从d[]=INF一路更新过来的，用1->3->2这条边更新1->2，实际上表示的是后两个不等式之和a(2)-a(1)<=2比第一个不等式的约束条件更强。

3、最长路与最短路的区别

　　两者不仅是在三角不等式的表现形式上不同，具体求解的值也不同。

　　首先要明确，需要额外的一个限定条件：一般为加入源点s，并建立权值为0的边。对于一个不等式组来说，只要有一组解，那么同时加上定值k，仍然满足约束条件。

　　最短路：d[v]<d[u]+w(u,v)，d[i]初始化为INF，而求解出来的是不等式的最大值。何为最大值？若确定其中一个的值，并非能得到每个数的定值，因为是不等式，所以每个值有其取值范围。这里的最大值就是在源点s的限定条件内，所能够取值的上界。仔细思考，这里的最短路只是满足不等式组条件所找到的解，由于最短路是由大到小做松弛操作，找到的最短路即为“最大”。

　　最长路：d[v]>d[u]+w(u,v)，d[i]初始化为-INF，解释同上。这道题目求的是最小值，自然就只能由最长路求解。

4、关于点的数量

　　如题目所示{ai,bi,ci}，[ai,bi]上至少标记ci个点，可以转化为：s(bi)-s(ai-1)>=ci，注意是(ai-1)而非(ai)，由于减1的关系，总点数+1。

　　在判环过程中，SPFA的判定条件为入队n次，其实质是最短路最长经过(n-1)条边，所以入队n次队列仍不为空，即可以判定存在正负环。当点的总数+1，对应的SPFA判环的条件也就变更为cnt[]>n。

5、关于图的连通性

　　无论是求值，还是判环，原图不构成强连通的前提下都是不能搜索到每一个点的，所以才出现设立一个源点s的方法。事实上，能够到达各个点，更加实用的是在SPFA初始化时，就把所有点加入队列，并把d[i]全部初始化为0。不仅仅是解决了连通的问题，更是避免了错误——加上一个源点s，使总点数为（n+2），SPFA的判环条件必须为cnt[]>(n+1)，这是很容易忽视的问题。

　　这道题由于存在所谓的隐藏条件0<=s(i)-s(i-1)<=1，据此建图已经能够实现图上的连通。

6、不等式的变形

　　差分约束解决的是>=和<=的问题，若题目给出的是>k(或<k)，需要变形。比如若k是整数，>k等价于>=k+1。

7、无穷解，无解。

　　http://www.cnblogs.com/zstu-abc/archive/2013/08/18.html

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define clr(a,m) memset(a,m,sizeof(a))
using namespace std;

const int MAXN=55555;
const int INF =MAXN;

struct Edge{
    int v,c,next;
    Edge(){}
    Edge(int _v,int _c,int _next):v(_v),c(_c),next(_next){}
}edge[MAXN<<2];

int head[MAXN],tol;
int d[MAXN],inq[MAXN];

void init()
{
    tol=0;
    clr(head,-1);
}

void add(int u,int v,int c)
{
    edge[tol]=Edge(v,c,head[u]);
    head[u]=tol++;
}

void SPFA(int down,int up)
{
    queue<int>q;
    clr(inq,0);
    rep(i,down,up)
        if(i==down)d[i]=0;
        else d[i]=-INF;
    q.push(down);
    inq[down]=true;
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();q.pop();
        inq[u]=false;
        for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
        {
            int v=edge[i].v;
            int c=edge[i].c;
            if(d[v]<d[u]+c){
                d[v]=d[u]+c;
                if(!inq[v]){
                    q.push(v);
                    inq[v]=true;
                }
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int n,up=0,down=MAXN;
    int u,v,c;
    scanf("%d",&n);

    init();
    rep(i,1,n){
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&c);
        add(--u,v,c);
        up=max(up,v);
        down=min(down,u);
    }
    rep(i,down,up){
        add(i-1,i,0);
        add(i,i-1,-1);
    }
    SPFA(down,up);

    printf("%d
",d[up]);
    return 0;
}