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  • UVALive 5097 Cross the Wall

    贪心思想,$dp$,斜率优化。

    首先将人按照$w$从大到小排序,如果$w$一样,按$h$从大到小排。这样一来,某位置之后,比该位置$h$小的都是不需要考虑的。

    因此,形成了如下图所示的结果:

    即第一个人最宽,但是最矮,最后一个人最瘦但是最高。

    接下来考虑这些人怎么挖洞。还是上图,如果第一个人和第三个人都是从同一个洞里通过的,那么中间那个肯定也可以从那个洞里通过的。

    也就是说一定是连续的一段人从同一个洞通过,接下来的任务就是如何将这些人分段。

    设$dp[i][j]$表示前$i$个人分成了$j$段的最小费用。那么,$dp[i][j]=min(dp[x][j-1]+w[x+1]*h[i])$。

    直接算的话,时间复杂度是$O(n*n*k)$的,超时。可以斜率优化。

    写出斜率式子后可以发现是维护一个类似下图的曲线:

    #pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<cmath>
    #include<algorithm>
    #include<vector>
    #include<map>
    #include<set>
    #include<queue>
    #include<stack>
    #include<ctime>
    #include<iostream>
    using namespace std;
    typedef long long LL;
    const double pi=acos(-1.0),eps=1e-10;
    void File()
    {
        freopen("D:\in.txt","r",stdin);
        freopen("D:\out.txt","w",stdout);
    }
    template <class T>
    inline void read(T &x)
    {
        char c = getchar();
        x = 0;
        while(!isdigit(c)) c = getchar();
        while(isdigit(c))
        {
            x = x * 10 + c - '0';
            c = getchar();
        }
    }
    
    int n,k;
    long long dp[50010][110];
    struct X
    {
        long long w,h;
    }s[50010],tmp[50010];
    int q[50010],f1,f2;
    
    bool cmp(X a,X b)
    {
        if(a.w!=b.w) return a.w>b.w;
        return a.h>b.h;
    }
    
    bool delete1(int t,int a,int b,int c)
    {
        if(dp[b][t]+s[b+1].w*s[c].h<=dp[a][t]+s[a+1].w*s[c].h) return 1;
        return 0;
    }
    
    bool delete2(int t,int a,int b,int c)
    {
        if( (dp[c][t]-dp[b][t])*(s[b+1].w-s[a+1].w)>=
            (dp[b][t]-dp[a][t])*(s[c+1].w-s[b+1].w) ) return 1;
        return 0;
    }
    
    
    int main()
    {
        while(~scanf("%d%d",&n,&k))
        {
            k=min(n,k);
            for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld%lld",&tmp[i].w,&tmp[i].h);
            sort(tmp+1,tmp+1+n,cmp); int sz=1;
            s[sz].h=tmp[1].h; s[sz].w=tmp[1].w;
            for(int i=2;i<=n;i++)
            {
                if(tmp[i].h<=s[sz].h) continue;
                sz++; s[sz].h=tmp[i].h; s[sz].w=tmp[i].w;
            }
    
            for(int i=1;i<=sz;i++) dp[i][1]=s[1].w*s[i].h;
    
            for(int j=2;j<=k;j++)
            {
                f1=f2=0; q[0] = j-1;
                for(int i=j;i<=sz;i++)
                {
                    while(1)
                    {
                        if(f2-f1+1<2) break;
                        if(delete1(j-1,q[f1],q[f1+1],i)) f1++;
                        else break;
                    }
    
                    dp[i][j]=dp[q[f1]][j-1]+s[q[f1]+1].w*s[i].h;
    
                    while(1)
                    {
                        if(f2-f1+1<2) break;
                        if(delete2(j-1,q[f2-1],q[f2],i)) f2--;
                        else break;
                    }
    
                    f2++; q[f2]=i;
                }
            }
    
            long long ans=dp[sz][1];
            for(int j=2;j<=k;j++) ans=min(ans,dp[sz][j]);
            printf("%lld
    ",ans);
    
        }
        return 0;
    }
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