曼哈顿距离与切比雪夫距离及其相互转化

本文只讨论二维空间中的曼哈顿距离与切比雪夫距离

曼哈顿距离

定义

设平面空间内存在两点，它们的坐标为$(x1,y1)$，$(x2,y2)$

则$dis=|x1-x2|+|y1-y2|$

即两点横纵坐标差之和

煮个栗子

如图所示，图中$A,B$两点的曼哈顿距离为$AC+BC=4+3=7$

切比雪夫距离

定义

设平面空间内存在两点，它们的坐标为$(x1,y1)$，$(x2,y2)$

则$dis=max(|x1-x2|,|y1-y2|)$

即两点横纵坐标差的最大值

再煮个栗子

$dis=max(AC,BC)=AC=4$

两者之间的关系

两者的定义看上去好像毛线关系都没有，但实际上，这两种距离可以相互转化！

我们考虑最简单的情况，在一个二维坐标系中，设原点为$(0,0)$

如果用曼哈顿距离表示，则与原点距离为$1$的点会构成一个边长为$sqrt{2}$的正方形

如果用切比雪夫距离表示，则与原点距离为$1$的点会构成一个边长为$2$的正方形

仔细对比这两个图形，我们会发现这两个图形长得差不多，他们应该可以通过某种变换互相转化。

事实上,

将一个点$(x,y)$的坐标变为$(x+y,x-y)$后,原坐标系中的曼哈顿距离 $=$ 新坐标系中的切比雪夫距离

将一个点$(x,y)$的坐标变为$(frac{x+y}{2},frac{x-y}{2})$ 后,原坐标系中的切比雪夫距离 $=$ 新坐标系中的曼哈顿距离

用处

切比雪夫距离在计算的时候需要取$max$，往往不是很好优化，对于一个点，计算其他点到该的距离的复杂度为$O(n)$

而曼哈顿距离只有求和以及取绝对值两种运算，我们把坐标排序后可以去掉绝对值的影响，进而用前缀和优化，可以把复杂度降为$O(1)$

例题