网络最大流算法—EK算法

前言

EK算法是求网络最大流的最基础的算法，也是比较好理解的一种算法，利用它可以解决绝大多数最大流问题。

但是受到时间复杂度的限制，这种算法常常有TLE的风险

思想

还记得我们在介绍最大流的时候提到的求解思路么？

对一张网络流图，每次找出它的最小的残量（能增广的量），对其进行增广。

没错，EK算法就是利用这种思想来解决问题的

实现

EK算法在实现时，需要对整张图遍历一边。

那我们如何进行遍历呢？BFS还是DFS？

因为DFS的搜索顺序的原因，所以某些毒瘤出题人会构造数据卡你，具体怎么卡应该比较简单，不过为了防止大家成为这种人我就不说啦(#^.^#)

所以我们选用BFS

在对图进行遍历的时候，记录下能进行增广的最大值，同时记录下这个最大值经过了哪些边。

我们遍历完之后对这条增广路上的边进行增广就好啦

代码

题目在这儿

代码里面我对一些重点的地方加了一些注释，如果我没写明白的话欢迎在下方评论:blush:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
const int MAXN=2*1e6+10;
const int INF=1e8+10;
inline char nc()
{
    static char buf[MAXN],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,MAXN,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int read()
{
    char c=nc();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=nc();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=nc();}
    return x*f;
}
struct node
{
    int u,v,flow,nxt;
}edge[MAXN];
int head[MAXN];
int num=0;//注意这里num必须从0开始 
inline void add_edge(int x,int y,int z)
{
    edge[num].u=x;
    edge[num].v=y;
    edge[num].flow=z;
    edge[num].nxt=head[x];
    head[x]=num++;
}
inline void AddEdge(int x,int y,int z)
{
    add_edge(x,y,z);
    add_edge(y,x,0);//注意这里别忘了加反向边 
}
int N,M,S,T;
int path[MAXN];//经过的路径
int A[MAXN];//S到该节点的最小流量
inline int EK()
{
    int ans=0;//最大流 
    while(true)//不停的找增广路
    {
        memset(A,0,sizeof(A)); 
        queue<int>q;//懒得手写队列了。。。 
        q.push(S);
        A[S]=INF;
        while(q.size()!=0)
        {
            int p=q.front();q.pop();
            for(int i=head[p];i!=-1;i=edge[i].nxt)
            {
                if(!A[edge[i].v]&&edge[i].flow)
                {
                    path[ edge[i].v ]=i;//记录下经过的路径，方便后期增广 
                    A[edge[i].v]=min(A[p],edge[i].flow);//记录下最小流量 
                    q.push(edge[i].v);
                }
            }
            if(A[T]) break;//一个小优化 
        }
        if(!A[T]) break;//没有可以增广的路径，直接退出
        for(int i=T;i!=S;i=edge[path[i]].u)//倒着回去增广 
        {
            edge[path[i]].flow-=A[T];
            edge[path[i]^1].flow+=A[T];//利用异或运算符寻找反向边，0^1=1 1^1=0 
        }
        ans+=A[T]; 
    }
    return ans;
}
int main()
{
    #ifdef WIN32
    freopen("a.in","r",stdin);
    #else
    #endif 
    memset(head,-1,sizeof(head));
    N=read(),M=read(),S=read(),T=read();
    for(int i=1;i<=M;i++)
    {
        int x=read(),y=read(),z=read();
        AddEdge(x,y,z); 
    } 
    printf("%d", EK() ); 
    return 0;
}

性能分析

通过上图不难看出，这种算法的性能还算是不错，

不过你可以到这里提交一下就知道这种算法究竟有多快(man)了

可以证明，这种算法的时间复杂度为$O(n*m^2)$

大体证一下：

我们最坏情况下每次只增广一条边，则需要增广$m-1$次。

在BFS的时候，由于反向弧的存在，最坏情况为$n*m$

总的时间复杂度为$O(n*m^2)$

后记

EK算法到这里就结束了。

不过loj那道题怎么才能过掉呢？

这就要用到我们接下来要讲的其他算法