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  • BZOJ 3771: Triple(生成函数 FFT)

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    Description

    我们讲一个悲伤的故事。
    从前有一个贫穷的樵夫在河边砍柴。
    这时候河里出现了一个水神,夺过了他的斧头,说:
    “这把斧头,是不是你的?”
    樵夫一看:“是啊是啊!”
    水神把斧头扔在一边,又拿起一个东西问:
    “这把斧头,是不是你的?”
    樵夫看不清楚,但又怕真的是自己的斧头,只好又答:“是啊是啊!”
    水神又把手上的东西扔在一边,拿起第三个东西问:
    “这把斧头,是不是你的?”
    樵夫还是看不清楚,但是他觉得再这样下去他就没法砍柴了。
    于是他又一次答:“是啊是啊!真的是!”
    水神看着他,哈哈大笑道:
    “你看看你现在的样子,真是丑陋!”
    之后就消失了。
     
    樵夫觉得很坑爹,他今天不仅没有砍到柴,还丢了一把斧头给那个水神。
    于是他准备回家换一把斧头。
    回家之后他才发现真正坑爹的事情才刚开始。
    水神拿着的的确是他的斧头。
    但是不一定是他拿出去的那把,还有可能是水神不知道怎么偷偷从他家里拿走的。
    换句话说,水神可能拿走了他的一把,两把或者三把斧头。
     
    樵夫觉得今天真是倒霉透了,但不管怎么样日子还得过。
    他想统计他的损失。
    樵夫的每一把斧头都有一个价值,不同斧头的价值不同。总损失就是丢掉的斧头价值和。
    他想对于每个可能的总损失,计算有几种可能的方案。
    注意:如果水神拿走了两把斧头a和b,(a,b)和(b,a)视为一种方案。拿走三把斧头时,(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a),(b,a,c),(a,c,b)视为一种方案。
     

    Input

    第一行是整数N,表示有N把斧头。
    接下来n行升序输入N个数字Ai,表示每把斧头的价值。
     

    Output

    若干行,按升序对于所有可能的总损失输出一行x y,x为损失值,y为方案数。
     

    Sample Input

    4
    4
    5
    6
    7

    Sample Output

    4 1
    5 1
    6 1
    7 1
    9 1
    10 1
    11 2
    12 1
    13 1
    15 1
    16 1
    17 1
    18 1
    样例解释
    11有两种方案是4+7和5+6,其他损失值都有唯一方案,例如4=4,5=5,10=4+6,18=5+6+7.

    HINT

    所有数据满足:Ai<=40000


    Source

    应该不难看出是生成函数

    我们用$A(x) = a + bx^1 + cx^2 + dots $表示价值为$1$的方案为$a$,价值为$2$的方案为$b$

    那么很显然的思路就是:$A(x) + frac{A(x) * A(x)}{2!} + frac{A(x) * A(x) * A(x)}{3!}$

    但是题目中要求了每种斧子只能拿一次,这样会多计算重复拿的一部分

    因此我们考虑用容斥的方法将他们减去

    定义$B(x) = x ^ i$表示价值为$i$的拿了两把的方案数

    $C(x) = x ^ i$表示价值为$i$的拿了三把的方案数

    拿两把斧子时会计算到$(x, x)$这种情况,所以拿两把时应该为$frac{A(x) * A(x) - B(x)}{2!}$

    拿三把时有些复杂

    我们需要减去$(x, x, x)$和$(x, y, y)$这两种情况

    第一种情况就是$C(x)$

    第二种情况可以通过$A(x)* B(x)$计算得到,但此时也计算上了$(x, x, x)$这种情况

    $(x, y, y)$有三种组合排列方式,所以要乘$3$,但$(x, x, x)$只有一种排列方式,所以最终统计答案时要加上$2 * C(x)$

    最终的答案就是

    $A + frac{A * A - B}{2!} + frac{A * A * A - 3 * A * B + 2C}{3!}$

    多项式乘法可以用NTT,不过模数会炸998244353

    看到大佬们都用FFT A了,那我就偷个懒喽

    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    #include<cstring>
    #include<cmath>
    //#include<iostream>
    const double pi = acos(-1);
    using namespace std;
    const int MAXN = 150000;
    inline int read() {
        char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
        while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
        while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
        return x * f;
    }
    struct complex {
        double x, y;
        complex(double xx = 0, double yy = 0) {x = xx, y = yy;}
        complex operator + (const complex &rhs) {
            return complex(x + rhs.x, y + rhs.y);
        }
        complex operator - (const complex &rhs) {
            return complex(x - rhs.x, y - rhs.y);
        }
        complex operator * (const complex &rhs) {
            return complex(x * rhs.x - y * rhs.y, x * rhs.y + y * rhs.x);
        }
        complex operator * (const double &rhs) {
            return complex(x * rhs, y * rhs);
        }
        complex operator / (const double &rhs) {
            return complex(x / rhs, y / rhs);
        }
    }A[MAXN], B[MAXN], C[MAXN];
    int val, n, N, L, len, r[MAXN];
    void FFT(complex *A, int type) {
        for(int i = 0; i < N; i++) if(i < r[i]) swap(A[i], A[r[i]]);
        for(int mid = 1; mid < N; mid <<= 1) {
            complex Wn(cos(pi / mid), type * sin(pi / mid));
            for(int j = 0; j < N; j += (mid << 1)) {
                complex w = complex(1, 0);
                for(int i = 0; i < mid; i++, w = w * Wn) {
                    complex x = A[j + i], y = w * A[j + i + mid];
                    A[j + i] = x + y;
                    A[j + i + mid] = x - y;
                }
            }
        }
        if(type == -1) {
            for(int i = 0; i < N; i++)
                A[i].x /= N;
        }
    }
    void print(complex *a) {
        for(int i = 0; i < N; i++)
            printf("%d %lf %lf
    ", i, a[i].x, a[i].y);
    }
    int main() {
    #ifdef WIN32
        freopen("a.in", "r", stdin);
        freopen("b.out", "w", stdout);
    #endif
        n = read();
        for(int i = 1; i <= n; i++)  
            val = read(), 
            A[val].x = 1, 
            B[2 * val].x = 1, 
            C[3 * val].x = 1,
            len = max(3 * val, len);
        len = len + 1;//tag
        for(N = 1; N <= len; N <<= 1, L++);
        for(int i = 0; i < N; i++)
            r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (L - 1));
            
        FFT(C, 1);
        FFT(A, 1); 
        FFT(B, 1); 
        for(int i = 0; i < N; i++)
            A[i] = A[i] + (A[i] * A[i] - B[i]) / 2.0 + (A[i] * A[i] * A[i] - A[i] * B[i] * 3.0 + C[i] * 2.0) / 6.0;
        FFT(A, -1);
        
        for(int i = 0; i < N; i++) {
            long long cur = (long long )(A[i].x + 0.5);
            if(cur) 
                printf("%d %lld
    ", i, cur);
        }
        return 0;
    }
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