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Description
我们讲一个悲伤的故事。
从前有一个贫穷的樵夫在河边砍柴。
这时候河里出现了一个水神，夺过了他的斧头，说：
“这把斧头，是不是你的？”
樵夫一看：“是啊是啊！”
水神把斧头扔在一边，又拿起一个东西问：
“这把斧头，是不是你的？”
樵夫看不清楚，但又怕真的是自己的斧头，只好又答：“是啊是啊！”
水神又把手上的东西扔在一边，拿起第三个东西问：
“这把斧头，是不是你的？”
樵夫还是看不清楚，但是他觉得再这样下去他就没法砍柴了。
于是他又一次答：“是啊是啊！真的是！”
水神看着他，哈哈大笑道：
“你看看你现在的样子，真是丑陋！”
之后就消失了。
樵夫觉得很坑爹，他今天不仅没有砍到柴，还丢了一把斧头给那个水神。
于是他准备回家换一把斧头。
回家之后他才发现真正坑爹的事情才刚开始。
水神拿着的的确是他的斧头。
但是不一定是他拿出去的那把，还有可能是水神不知道怎么偷偷从他家里拿走的。
换句话说，水神可能拿走了他的一把，两把或者三把斧头。
樵夫觉得今天真是倒霉透了，但不管怎么样日子还得过。
他想统计他的损失。
樵夫的每一把斧头都有一个价值，不同斧头的价值不同。总损失就是丢掉的斧头价值和。
他想对于每个可能的总损失，计算有几种可能的方案。
注意：如果水神拿走了两把斧头a和b，(a,b)和(b,a)视为一种方案。拿走三把斧头时，(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a),(b,a,c),(a,c,b)视为一种方案。
Input
第一行是整数N，表示有N把斧头。
接下来n行升序输入N个数字Ai，表示每把斧头的价值。
Output
若干行，按升序对于所有可能的总损失输出一行x y，x为损失值，y为方案数。
Sample Input
4
4
5
6
7
4
5
6
7
Sample Output
4 1
5 1
6 1
7 1
9 1
10 1
11 2
12 1
13 1
15 1
16 1
17 1
18 1
样例解释
11有两种方案是4+7和5+6，其他损失值都有唯一方案，例如4=4,5=5,10=4+6,18=5+6+7.
5 1
6 1
7 1
9 1
10 1
11 2
12 1
13 1
15 1
16 1
17 1
18 1
样例解释
11有两种方案是4+7和5+6，其他损失值都有唯一方案，例如4=4,5=5,10=4+6,18=5+6+7.
HINT
所有数据满足：Ai<=40000
Source
应该不难看出是生成函数
我们用$A(x) = a + bx^1 + cx^2 + dots $表示价值为$1$的方案为$a$，价值为$2$的方案为$b$
那么很显然的思路就是：$A(x) + frac{A(x) * A(x)}{2!} + frac{A(x) * A(x) * A(x)}{3!}$
但是题目中要求了每种斧子只能拿一次，这样会多计算重复拿的一部分
因此我们考虑用容斥的方法将他们减去
定义$B(x) = x ^ i$表示价值为$i$的拿了两把的方案数
$C(x) = x ^ i$表示价值为$i$的拿了三把的方案数
拿两把斧子时会计算到$(x, x)$这种情况，所以拿两把时应该为$frac{A(x) * A(x) - B(x)}{2!}$
拿三把时有些复杂
我们需要减去$(x, x, x)$和$(x, y, y)$这两种情况
第一种情况就是$C(x)$
第二种情况可以通过$A(x)* B(x)$计算得到，但此时也计算上了$(x, x, x)$这种情况
$(x, y, y)$有三种组合排列方式，所以要乘$3$，但$(x, x, x)$只有一种排列方式，所以最终统计答案时要加上$2 * C(x)$
最终的答案就是
$A + frac{A * A - B}{2!} + frac{A * A * A - 3 * A * B + 2C}{3!}$
多项式乘法可以用NTT，不过模数会炸998244353
看到大佬们都用FFT A了，那我就偷个懒喽
#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cmath> //#include<iostream> const double pi = acos(-1); using namespace std; const int MAXN = 150000; inline int read() { char c = getchar(); int x = 0, f = 1; while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();} while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar(); return x * f; } struct complex { double x, y; complex(double xx = 0, double yy = 0) {x = xx, y = yy;} complex operator + (const complex &rhs) { return complex(x + rhs.x, y + rhs.y); } complex operator - (const complex &rhs) { return complex(x - rhs.x, y - rhs.y); } complex operator * (const complex &rhs) { return complex(x * rhs.x - y * rhs.y, x * rhs.y + y * rhs.x); } complex operator * (const double &rhs) { return complex(x * rhs, y * rhs); } complex operator / (const double &rhs) { return complex(x / rhs, y / rhs); } }A[MAXN], B[MAXN], C[MAXN]; int val, n, N, L, len, r[MAXN]; void FFT(complex *A, int type) { for(int i = 0; i < N; i++) if(i < r[i]) swap(A[i], A[r[i]]); for(int mid = 1; mid < N; mid <<= 1) { complex Wn(cos(pi / mid), type * sin(pi / mid)); for(int j = 0; j < N; j += (mid << 1)) { complex w = complex(1, 0); for(int i = 0; i < mid; i++, w = w * Wn) { complex x = A[j + i], y = w * A[j + i + mid]; A[j + i] = x + y; A[j + i + mid] = x - y; } } } if(type == -1) { for(int i = 0; i < N; i++) A[i].x /= N; } } void print(complex *a) { for(int i = 0; i < N; i++) printf("%d %lf %lf ", i, a[i].x, a[i].y); } int main() { #ifdef WIN32 freopen("a.in", "r", stdin); freopen("b.out", "w", stdout); #endif n = read(); for(int i = 1; i <= n; i++) val = read(), A[val].x = 1, B[2 * val].x = 1, C[3 * val].x = 1, len = max(3 * val, len); len = len + 1;//tag for(N = 1; N <= len; N <<= 1, L++); for(int i = 0; i < N; i++) r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (L - 1)); FFT(C, 1); FFT(A, 1); FFT(B, 1); for(int i = 0; i < N; i++) A[i] = A[i] + (A[i] * A[i] - B[i]) / 2.0 + (A[i] * A[i] * A[i] - A[i] * B[i] * 3.0 + C[i] * 2.0) / 6.0; FFT(A, -1); for(int i = 0; i < N; i++) { long long cur = (long long )(A[i].x + 0.5); if(cur) printf("%d %lld ", i, cur); } return 0; }