最大数组问题

问题：给出一个整数数组，要找出元素之和最大的子数组。

如有列表A

A = [-2, -4, 3, -1, 5, 6, -7, -2, 4, -3, 2]

算法1：

def maxsub_1(A):
    m = 0
    for j in range(len(A)):
        for k in range(j, len(A)):
            s = 0
            for i in range(j, k+1):
                s += A[i]
                if s > m:
                    m = s
    return m

分析：外层循环变量j迭代n次，内层循环变量k最多迭代n次，最内层循环变量i最多迭代n次，因此算法复杂度为O(n3)

算法2：

考虑Si为前i个元素之和（前缀和），则Aj加到Ak可表示为Sk - Sj-1，则有以下算法

def maxsub_2(A):
    S = [0]
    S = S * len(A)
    S[0] = A[0]
    for i in range(1, len(A)):
        S[i] = S[i-1] + A[i]
        S.append(S[i])
    m = 0
    for j in range(len(A)):
        for k in range(j, len(A)):
            s = S[k] - S[j-1]
            if s > m:
                m = s
    return m

分析：i层循环变量迭代n-1次，复杂度O(n)，外层循环变量j迭代n次，内层循环变量k最多迭代n次，内层循环体（减法计算）复杂度只需要O(1)，复杂度为O(n2)，因此总复杂度为O(n)+O(n2)=O(n2)

算法3：

放弃前缀和，考虑后缀和M，则有以下算法

def maxsub_3(A):
    M = [0]
    M = M * len(A)
    M[0] = 0
    for t in range(len(A)):
        M[t] = max(0, M[t-1]+A[t])
    m = 0
    for t in range(len(A)):
        m = max(m, M[t])
    return m

分析：复杂度为O(n)