洛谷3327：约数个数和

洛谷3327：约数个数和

题意描述：

• 设(d(x))为(x)的约数个数，给定(n,m)求：
• (sum_{i=1}^nsum_{j=1}^md(ij))。(T)组数据。
• 数据范围(T,n,mleq 50000).

思路

• (d(ij)=sum_{x|i}sum_{y|j}[gcd(x,y)=1]).
• 所求就为：
• (sum_{i=1}^nsum_{j=1}^msum_{x|i}sum_{y|j}[gcd(x,y)=1])。
• 枚举(x,y)有：
• (sum_{x=1}^nsum_{y=1}^m[gcd(x,y)=1]sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[x|n and y|m]).
• (sum_{x=1}^nsum_{y=1}^m[gcd(x,y)=1]frac{n}{x}frac{m}{y})
• 修改一下变量吧...：
• (sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[gcd(i,j)=1]frac{n}{i}frac{m}{j}).
• 开始反演：
• (f(x)=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[gcd(i,j)=x]frac{n}{i}frac{m}{j}).
• 按照套路有：
• (F(x)=sum_{x|d}f(d)=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^mfrac{n}{i}frac{m}{j}[x|gcd(i,j)])。
• 枚举(ix,jx)，有
• (=sum_{i=1}^{frac{n}{x}}sum_{j=1}^{frac{m}{x}}frac{n}{ix}frac{m}{jx}).
• 这样就可以不用理会(gcd(i,j))这个条件。
• 有反演公式：
• (f(x)=sum_{x|d}mu(frac{d}{x})F(d)).
• 又知道(ans=f(1))。
• (=sum_{1|d}mu(d)F(d))
• (=sum_{d=1}^{min(n,m)}mu(d)sum_{i=1}^{n/d}frac{n}{di}sum_{j=1}^{m/d}frac{m}{dj}).
• 到了这里其实就可以做了，但是还有个小问题，就是如何快速的计算(sum_{i=1}^nfrac{n}{i})。
• 可以用整除分块来处理。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 5e4 + 10;
int T, n, m;

bool vis[maxn];
int primes[maxn], mu[maxn], cnt, sum[maxn];
ll s[maxn];
void get_mu(int n)
{
    mu[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            primes[++cnt] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 1; primes[j] <= n/i; j++)
        {
            vis[primes[j]*i] = 1;
            if(i % primes[j] == 0) break;
            else mu[i*primes[j]] = -mu[i];
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        sum[i] = sum[i-1] + mu[i];
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        ll res = 0;
        for(int l = 1, r; l <= i; l = r + 1)
        {
            r = i/(i/l);
            res += 1ll*(r-l+1)*1ll*(i/l);
        }
        s[i] = res;
    }
}

inline void solve(int n, int m)
{
    if(n > m) swap(n, m);
    ll ans = 0;
    for(int l = 1, r; l <= n; l = r+1)
    {
        r = min(n/(n/l), m/(m/l));
        ans += 1ll*(sum[r]-sum[l-1])*1ll*s[n/l]*1ll*s[m/l];
    }
    printf("%lld
", ans);
}

signed main()
{
    get_mu(50000);
    scanf("%lld", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld", &n, &m);
        solve(n, m);
    }
    return 0;
}