UVa 1635 无关的元素（唯一分解定理+二项式定理）

https://vjudge.net/problem/UVA-1635

题意：

给定n个数a1，a2，...an,依次求出相邻两数之和，将得到一个新数列。重复上述操作，最后结果将变成一个数。问这个数除以m的余数与哪些数无关？例如n=3，m=2时，第一次求和得到a1+a2，a2+a3，再求和得到a1+2a2+a3，它除以2的余数和a2无关。

思路：

如果有n个数，最后结果就是杨辉三角的第n-1行。这样算出每一项的系数是很容易的，但是n很大，系数到最后很大。所以直接C%m的话不行。

有个整除的条件：m中每个素因子在C中都存在并且C中的指数大于等于m的素因子的指数。

所以我们先将m分解素因子，依次计算各个素因子在C中的指数，这里还要用到递推式，每次从左到右计算C的时候，只需要考虑（n-k+1）/k,因为在上一次已经计算过了，它的素因子指数已经保存下来了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;

const int maxn=1e5+5;

int n,m;
int fac[105][2];  //f[][0]用来存储质因子，f[][1]存储对应质因子的个数
int c[105];
int a[maxn];
int num;   //m分解质因子的个数

void factor()   //分解质因子
{
    for(int i=2;i*i<=m;i++)
    {
        if(m%i==0)
        {
            fac[++num][0]=i;
            fac[num][1]=0;
            do
            {
                fac[num][1]++;
                m/=i;
            }while(m%i==0);
        }
    }
    if(m>1)
    {
        fac[++num][0]=m;
        fac[num][1]=1;
    }
}

bool check(int n,int i)
{
    int x=n-i;  //n-1-i+1
    int y=i;
    for(int i=1;i<=num;i++)
    {
        int p=fac[i][0];
        while(x%p==0)
        {
            x/=p;
            c[i]++;
        }
        while(y%p==0)
        {
            y/=p;
            c[i]--;
        }
    }
    for(int i=1;i<=num;i++)
        if(c[i]<fac[i][1])
            return false;
    return true;
}

int main()
{
    while(cin>>n>>m)
    {
        num=0;
        int cnt=0;
        factor();
        memset(c,0,sizeof(c));
        for(int i=1;i<n-1;i++)   //第1项和最后一项都是1，直接跳过
        {
            if(check(n,i))
                a[cnt++]=i+1;
        }
        printf("%d
",cnt);
        for (int i = 0; i < cnt; i++)
            printf("%s%d", i == 0 ? "" : " ", a[i]);
        printf("
");
    }
    return 0;
}