HDU 3401 Trade（斜率优化dp）

 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3401

题意：
有一个股市，现在有T天让你炒股，在第i天，买进股票的价格为APi，卖出股票的价格为BPi，同时最多买进股票的数量为ASi，卖出股票的数量为BSi。一次交易之后要隔W天之后才能再次交易，并且手上最多持股maxP，问最多可以炒到多少钱。

思路：

首先列一个DP方程：

分别代表不买不卖，买进股票，卖出股票三种情况（上面 (j-k)<=AS[i] , (k-j)<=BS[i]）。

那么这里需要枚举r和k的情况，由于相邻两次交易必须隔W天，也就是如果第i天交易了，那么至少要到第i+w+1天才能再次交易。如果我们在第i天要交易股票，那么前w天都是不买不卖的情况，那么前w天的情况都是一样的，所以这以r直接为i-w-1即可。

最后是将上面的式子化简一下：

可以看见右边是与k有关的表达式，左边是与j有关的表达式，右边我们只需要选择最大的值即可，那么这就可以用单调队列来优化了。

以买股票为例子说明：

因为是买股票，所以j肯定是大于k的，所以j从小到大枚举。每次计算出右边的值，单调队列保存递减值。每次取队首的最大值，当然队首元素必须满足AS[i]的条件，不满足就出队列。

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn = 2000+5;

int t, maxp, w, ap[maxn], bp[maxn], as[maxn], bs[maxn], head, tail;
int dp[maxn][maxn];
struct node
{
    int p;
    int x;
}q[maxn];

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d%d",&t,&maxp,&w);
        for(int i=1;i<=t;i++)
            scanf("%d%d%d%d",&ap[i],&bp[i],&as[i],&bs[i]);

        for(int i=0;i<=t;i++)
            for(int j=0;j<=maxp;j++)
                dp[i][j] = -0x3f3f3f3f;

        for(int i=1;i<=w+1;i++)
            for(int j=0;j<=as[i];j++)
                dp[i][j] = -j*ap[i];

        for(int i=2;i<=t;i++)
        {
            for(int j=0;j<=maxp;j++)
                dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j]);
            if(i<=w+1)  continue;
            //买进
            head = tail = 1;
            for(int j=0;j<=maxp;j++)
            {
                int x = dp[i-w-1][j]+j*ap[i];
                while(head<tail && q[tail-1].x<x)  tail--;
                q[tail].x = x;
                q[tail++].p = j;
                while(head<tail && j-q[head].p>as[i]) head++;
                dp[i][j] = max(dp[i][j], q[head].x-j*ap[i]);
            }

            //卖出
            head = tail = 1;
            for(int j=maxp;j>=0;j--)
            {
                int x = dp[i-w-1][j]+j*bp[i];
                while(head<tail && q[tail-1].x<x)  tail--;
                q[tail].x = x;
                q[tail++].p = j;
                while(head<tail && j+bs[i]<q[head].p) head++;
                dp[i][j] = max(dp[i][j], q[head].x-j*bp[i]);
            }
        }
        int ans = 0;
        for(int i=0;i<=maxp;i++)
            ans = max(ans,dp[t][i]);
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}