BZOJ1977: [BeiJing2010组队]次小生成树 Tree

1977: [BeiJing2010组队]次小生成树 Tree

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Description

小 C 最近学了很多最小生成树的算法，Prim 算法、Kurskal 算法、消圈算法等等。 正当小 C 洋洋得意之时，小 P 又来泼小 C 冷水了。小 P 说，让小 C 求出一个无向图的次小生成树，而且这个次小生成树还得是严格次小的，也就是说： 如果最小生成树选择的边集是 EM，严格次小生成树选择的边集是 ES，那么需要满足：(value(e) 表示边 e的权值) 这下小 C 蒙了，他找到了你，希望你帮他解决这个问题。

Input

第一行包含两个整数N 和M，表示无向图的点数与边数。 接下来 M行，每行 3个数x y z 表示，点 x 和点y之间有一条边，边的权值为z。

Output

包含一行，仅一个数，表示严格次小生成树的边权和。(数据保证必定存在严格次小生成树)

Sample Input

5 6
1 2 1
1 3 2
2 4 3
3 5 4
3 4 3
4 5 6

Sample Output

11

HINT

数据中无向图无自环； 50% 的数据N≤2 000 M≤3 000； 80% 的数据N≤50 000 M≤100 000； 100% 的数据N≤100 000 M≤300 000 ，边权值非负且不超过 10^9 。

Source

题解：

真是不能再sb了。。。数组越界+xy打反。。。

如果不是严格的只需要枚举每条边，在MST上找这两点之间最大的边记作x，与当前枚举边的权值记作y，用y-x更新答案即可。

但是如果是严格的话？就会出现y==x的情况，那我们可以不管这条边吗？

当然不行，次小生成树是由MST加上一条边删去另一条边得到的。

想想看如果去掉此时两点间的次大值，加上y，也有可能成为答案。第三大就不会了。

所以我们需要找次大边，分情况来更新答案。

我还有点不懂的地方就是：

不同的两个MST最多有多少条边不同？怎么保证任何一个MST通过本题的操作都能的得到正确的答案？

求神犇指教。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<string>
#define inf 1000000000
#define maxn 100000+100
#define maxm 300000+100
#define eps 1e-10
#define ll long long
#define pa pair<int,int>
#define for0(i,n) for(int i=0;i<=(n);i++)
#define for1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++)
#define for2(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=10*x+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int dep[maxn],fa[maxn],head[maxn],tot,n,m,f[maxn][22];
bool out[maxm];
struct recc{int a,b;} g[maxn][22],ret;
struct edge{int go,next,w;}e[2*maxn];
struct rec{int x,y,z;}a[maxm];
inline void insert(int x,int y,int w)
{
    e[++tot].go=y;e[tot].w=w;e[tot].next=head[x];head[x]=tot;
    e[++tot].go=x;e[tot].w=w;e[tot].next=head[y];head[y]=tot;
}
inline bool cmp(rec a,rec b)
{
    return a.z<b.z;
}
inline void update(recc &x,recc &y)
{
    if(y.a<x.a)y.b=y.a,y.a=x.a;
        else {if(x.a>y.b&&x.a<y.a)y.b=x.a;}
    if(x.b==-1)return;
    if(y.a<x.b)y.b=y.a,y.a=x.b;
        else {if(x.b>y.b&&x.b<y.a)y.b=x.b;}    
}            
inline void dfs(int x)
{
    for1(i,20)
     if((1<<i)<=dep[x])
      {
        f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
        g[x][i].a=g[x][i].b=-1;  
        update(g[f[x][i-1]][i-1],g[x][i]);
        update(g[x][i-1],g[x][i]);      
      }
     else break;
    for(int i=head[x],y;i;i=e[i].next)
      if(!dep[y=e[i].go])
      {
        f[y][0]=x;g[y][0].a=e[i].w;g[y][0].b=-1;
        dep[y]=dep[x]+1;
        dfs(y);
      }
}
inline void query(int x,int y)
{
    if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
    int t=dep[x]-dep[y];
    ret.a=ret.b=-1;
    for0(i,20)
     if(t&(1<<i))
      {
        update(g[x][i],ret);
        x=f[x][i];
      }
    if(x==y)return;
    for(int i=20;i>=0;i--)
     if(f[x][i]!=f[y][i])
      {
          
        update(g[x][i],ret);x=f[x][i];
        update(g[y][i],ret);y=f[y][i];
      }  
    update(g[x][0],ret);update(g[y][0],ret); 
}
inline int find(int x)
{
    return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
int main()
{
    freopen("input.txt","r",stdin);
    freopen("output.txt","w",stdout);
    n=read();m=read();
    for1(i,m)a[i].x=read(),a[i].y=read(),a[i].z=read();
    sort(a+1,a+m+1,cmp);
    for1(i,n)fa[i]=i;
    ll sum=0,ans=inf;
    for(int i=1,j=1;i<=n-1;i++)
     {
        while(find(a[j].x)==find(a[j].y))j++;
        fa[find(a[j].x)]=find(a[j].y);insert(a[j].x,a[j].y,a[j].z);
        out[j]=1;
        sum+=a[j].z;j++;
     }
    dep[1]=1;g[1][0].a=g[1][0].b=-1;
    dfs(1);
    for1(i,m)if(!out[i])
    {
        int x=a[i].x,y=a[i].y,z=a[i].z;query(x,y);
        if(ret.a!=z&&z-ret.a<ans)ans=z-ret.a;
        if(ret.a==z&&ret.b!=-1&&z-ret.b<ans)ans=z-ret.b;
    }
    printf("%lld
",ans+sum);
    return 0;
}