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前言
牛顿迭代法固然具有收敛速度快，能求重根等优点，但是其具有一个明显的缺点，每一步迭代都需要求导，当函数的结构很复杂的时候，就很难使用牛顿迭代法，为了克服这些缺点，我们今天来学习一下弦截法。
（一）弦截法的分析
1.定义
将平均变化率：(frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}) 近似为：(fprime(x)) ,则牛顿迭代公式改为：
[x_{k+1}=x_k-frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}(x_k-x_{k-1})
]
上式是弦截法的迭代公式。
由于$ varphi(x)= x_k-frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}(x_k-x_{k-1})$ 与原方程(f(x)=0) 等价。
当(k ightarrow infty) 时，(x_k)就是(f(x)=0)的近似解。
该方法称为弦截法。
2.条件
- f(x)是单调连续函数
- 需要知道两个初始值
3.思想
其总思想还是迭代的方法，只是其迭代公式是由牛顿迭代公式得来的，与牛顿迭代公式不同的是：用割线（截线）方程与轴的交点来近似f(x)与x轴的交点。
1.误差
任然用的是迭代法的误差，前后两次x的差的绝对值与我们给的精度比较。
（二）代码实现
1.算法流程图
2.源代码
feval()函数：
def feval(string, a):
"""
根据值来计算数学表达式。
:param string: 含有x未知数的数学表达式
:param a: 自变量x的具体数值
:return: 数学表达式的计算结果
"""
count = string.count("x")
string = string.replace('x', '%f')
t = (a, ) * count
result = eval(string % t)
return result
float_num()函数
def flaot_num(x, r):
"""
处理保留几位小数点的函数,四舍五入法
:param x: 原始数据
:param r: 误差
:return: 处理后的数据
"""
# 处理小数点的位数
r = str(r)
if "." in r:
dian = r.index(".")
size = len(r[dian + 1:])
result = round(x, size)
return result
elif "e" in r:
dian = r.index("e")
size = int(r[dian+2:])
result = round(x, size)
return result
else:
result = round(x, 0)
return result
弦截法：
"""
弦截法：另一种解方程跟的迭代方法
"""
from my_math.func_math import feval, flaot_num
def xian_jie_fun(expr, x0, x1, r):
"""
迭代法求根
:param expr: 待求得方程得根
:param x0: 第一个初值
:param x1: 第二个初值
:param r: 误差
:return: 求解的根
"""
k = 0
x2 = x1-(feval(expr, x1)/(feval(expr, x1)-feval(expr, x0)))*(x1 - x0)
x3 = x2-(feval(expr, x2)/(feval(expr, x2)-feval(expr, x1)))*(x2 - x1)
# 精度判断
while abs(x3-x2) > r:
x2 = x3 - (feval(expr, x3) / (feval(expr, x3) - feval(expr, x2))) * (x3 - x2)
x3 = x2 - (feval(expr, x2) / (feval(expr, x2) - feval(expr, x3))) * (x2 - x3)
k += 1
print("*"*20)
print("次数：", k)
print("x2:", x2)
print("x3:", x3)
result = flaot_num(x3, r)
print("="*30)
print("原始的数据是", x3)
print("最后的结果是：", result)
return result
if __name__ == '__main__':
x = xian_jie_fun("sin(x)-x**2/4", 1.8, 2.0, 10**-5)
（三）案例演示
1.求解：(f(x)=x^3-x-1=0)
误差：10^-5
图像分析（来确定两个初值）
取两个初值分别是：1.0，1.5
运行结果：
2.求解：(f(x)=xe^x-1=0)
误差：10^-5
图像分析（来确定两个初值）
取两个初始值分别是：0.4，0.6
运行结果：
3.求解：(f(x)=sin(x)-frac{x^2}{4})
误差：10^-5
图像分析（来确定两个初值）
取两初值为：1.8与 2.0
运行结果：
