LCA最近公共祖先算法

LCA最近公共祖先

​ LCA是指在有根树中，找出某两个节点(u)和(v)的最近公共祖先，即找到一个节点，同时是(u)和(v)的公共祖先，并且深度尽可能大

​ 模板题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3379

朴素算法

​ 比如对于下面这样一个树，求LCA的过程，大体如下，首先我们先求出标号为4的节点的所有父节点，然后在对标号为5的节点不断向上求父节点，判断是否在4的父节点中，如果是就求出了就求出了公共祖先，如果树的深度很大，时间复杂度就是(O(n + m))

倍增法

​ 我们可以考虑，如果两个节点同事向上跳，直到相遇，相遇的点就是他们的LCA。但是如果树的深度很大，就需要跳很久，时间复杂度就是(O(n*m))。采用倍增法来优化。

​ 首先记录下每个节点的父节点和各个祖先节点，使用一个(f[N][30])数组用来表示节点(x)的第(i + 1)位祖先，也就是说(x)的父亲节点是(f[x][0])，这样我们在更新的时候可以得到一个递推式，(f[x][i] = f[f[i][i-1]][i-1])，就可以预处理处每个节点的祖先

​ 在向上跳的时候，首先让(x)和(y)处于同一层，让深度更深的向上跳，然后两个在一起跳，知道两个节点有了同一个父节点。当然我们可以再两个节点处于同一层的时候，判断是否汇合如果汇合，就返回

时间复杂度

(O(mlog(n)))

实现代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 500010, M = N * 2;

int n, m, root;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int depth[N], fa[N][26];
int q[N];

void add(int a, int b) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

void bfs(int root) {
    memset(depth, 0x3f, sizeof depth);
    depth[0] = 0, depth[root] = 1;
    int hh = 0, tt = 0;
    q[0] = root;
    while (hh <= tt) {
        int t = q[hh++];
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (depth[j] > depth[t] + 1) {
                depth[j] = depth[t] + 1;
                q[++tt] = j;
                fa[j][0] = t;
                for (int k = 1; k <= 25; k++)
                    fa[j][k] = fa[fa[j][k - 1]][k - 1];
            }
        }
    }
}

int lca(int a, int b) {
    if (depth[a] < depth[b]) swap(a, b);
    for (int k = 25; k >= 0; k--)
        if (depth[fa[a][k]] >= depth[b])
            a = fa[a][k];
    if (a == b) return a;
    for (int k = 25; k >= 0; k--)
        if (fa[a][k] != fa[b][k]) {
            a = fa[a][k];
            b = fa[b][k];
        }
    return fa[a][0];
}

int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &root);

    memset(h, -1, sizeof h);

    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b);
        add(b, a);
    }

    bfs(root);

    while (m--) {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        int p = lca(a, b);
        printf("%d
", p);
    }

    return 0;
}

Tarjan

​ 可以看出倍增的做法是强制在线算法，必须针对每一个问题去单独运行lca。Tarjan是强制离线算法，每次将结果计算好，然后直接查询即可。

​ tarjan算法的流程如下：

1. 从根节点开始
2. 遍历该点(u)的所有子节点(v)，并标记这些子节点(v)已经被访问过了
3. 如果(u)还有子节点，就重复步骤2
4. 合并(v)到(u)上
5. 寻找与当前点(u)有询问关系的点(v)
6. 如果(v)已经被访问过了，则可以确定(u)和(v)的最近公共祖先为(v)被合并到父亲节点(a)

实现代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 500010, M = 2 * N;

int n, m, root;
int h[N], e[M], ne[M], idx;

int p[N];
int res[M];
int st[N];
int dist[N];
// first 存查询的另外一个点，second存查询编号
vector <PII> query[N];

void add(int a, int b) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int find(int x) {
    if (x != p[x]) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

void tarjan(int u) {
    st[u] = 1;
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int j = e[i];
        if (!st[j]) {
            tarjan(j);
            p[j] = u;
        }
    }

    for (auto item : query[u]) {
        int y = item.first, id = item.second;
        if (st[y] == 2) {
            int anc = find(y);
            res[id] = anc;
        }
    }

    st[u] = 2;
}


int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &root);

    memset(h, -1, sizeof h);
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b);
        add(b, a);
    }

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        if (a != b) {
            query[a].push_back({b, i});
            query[b].push_back({a, i});
        }
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;


    tarjan(root);

    for (int i = 0; i < m; i++) printf("%d
", res[i]);
    return 0;
}