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  • 01 复杂度分析(上):如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗?

    为什么需要复杂度分析?

    把代码跑一遍,通过统计、监控,就能得到算法执行的时间和占用的内存大小。为什么还要做时间、空间复杂度分析呢?这种分析方法能比我实实在在跑一遍得到的数据更准确吗?

    1.测试结果非常依赖测试环境

    2.测试结果受数据规模的影响很大

    我们需要一个不用具体的测试数据来测试,就可以粗略地估计算法的执行效率的方法。 ————时间、空间复杂度分析方法。

    大O复杂度表示法

    时间复杂度分析

    1.只关注循环次数最多的一段代码

    2.加法法则:总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

    int cal(int n) {
       int sum_1 = 0;
       int p = 1;
       for (; p < 100; ++p) {
         sum_1 = sum_1 + p;
       }
    
       int sum_2 = 0;
       int q = 1;
       for (; q < n; ++q) {
         sum_2 = sum_2 + q;
       }
     
       int sum_3 = 0;
       int i = 1;
       int j = 1;
       for (; i <= n; ++i) {
         j = 1; 
         for (; j <= n; ++j) {
           sum_3 = sum_3 +  i * j;
         }
       }
     
       return sum_1 + sum_2 + sum_3;
     }
    

    上面的代码分为三部分,分别是求sum_1、sum_2、sum_3。我们可以分别分析每一部分的时间复杂度,然后把它们放到一块儿,再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度。

    第一段代码循环执行了100次,所以是一个常量的执行时间,跟 n 的规模无关。
    第二段和第三段代码的时间复杂度分别是 O(n) 和 O(n的平方)。

    结合这三段代码的时间复杂度,我们取其中最大的量级。所以,整段代码的时间复杂度就为 O(n的平方)。

    抽象成公式:
    如果 T1(n)=O(f(n)),T2(n)=O(g(n));那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)),O(g(n)))=O(max(f(n),g(n))).

    3.乘法法则:嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

    
    int cal(int n) {
       int ret = 0; 
       int i = 1;
       for (; i < n; ++i) {
         ret = ret + f(i);
       } 
     } 
     
     int f(int n) {
      int sum = 0;
      int i = 1;
      for (; i < n; ++i) {
        sum = sum + i;
      } 
      return sum;
     }
    

    上面的代码,单独看 cal() 函数,假设 f() 只是一个普通的操作,那第4~6行的时间复杂度就是,T1(n) = O(n)。
    但 f() 函数本身不是一个简单的操作,它的时间复杂度是 T2(n) = O(n),所以,整个 cal() 函数的时间复杂度就是,T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)。

    几种常见时间复杂度实例分析

    image

    image
    复杂度量级分为两类:多项式量级和非多项式量级
    非多项式量级只有两个:O(2的n次方)和 O(n!)

    多项式时间复杂度

    1. O(1)

    一般情况下,只要算法中不存在循环语句、递归语句,即使有成千上万行的代码,其时间复杂度也是 O(1)。

    2. O(logn)、O(nlogn)

    对数阶时间复杂度非常常见,同时也是最难分析的一种时间复杂度。

     i=1;
     while (i <= n)  {
       i = i * 2;
     }
    

    变量i的值其实是一个等比数列
    image
    所以,我们只要知道 x 值是多少,就知道这行代码执行的次数了。
    x = log2n,所以,这段代码的时间复杂度就是 O(log2n)。

     i=1;
     while (i <= n)  {
       i = i * 3;
     }
    

    这段代码的时间复杂度为 O(log3n)

    实际上,不管是以2为底、以3为底,还是以10为底,我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。

    因为,对数之间是可以互相转换的,log3n 就等于 log32 * log2n,所有 O(log3n) = O(C * log2n),其中 C=log32 是一个常量。而 在采用大O标记复杂度的时候,可以忽略系数,即 O(Cf(n)) = O(f(n))。,所以,在对数阶时间复杂度表示法里,我们忽略对数的“底”,统一表示为 O(logn)。

    根据乘法法则,如果一段代码的时间复杂度是 O(logn),我们循环执行 n 遍,时间复杂度就是 O(logn) 了。而且,O(logn) 也是一种非常常见的时间复杂度。比如,归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。

    3. O(m+n)、O(m*n)

    有一种时间复杂度跟前面都不一样,代码的复杂度由两个数据的规模来决定。

    int cal(int m, int n) {
      int sum_1 = 0;
      int i = 1;
      for (; i < m; ++i) {
        sum_1 = sum_1 + i;
      }
    
      int sum_2 = 0;
      int j = 1;
      for (; j < n; ++j) {
        sum_2 = sum_2 + j;
      }
    
      return sum_1 + sum_2;
    }
    

    从代码中可以看出,m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大,所以我们在表示复杂度的时候,就不能简单地利用加法法则,省略掉其中一个。所以,上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。
    针对这种情况,原来的加法法则就不正确了,我们需要将加法法则改为:T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效:T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。

    空间复杂度分析

    空间复杂度全程就是 渐进空间复杂度表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系

    void print(int n) {
      int i = 0;
      int[] a = new int[n];
      for (i; i <n; ++i) {
        a[i] = i * i;
      }
    
      for (i = n-1; i >= 0; --i) {
        print out a[i]
      }
    }
    

    第2行申请了一个空间存储变量 i,但是它是常量阶的,跟数据规模 n 没有关系,所以我们可以忽略。第3行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组,除此之外,剩下的代码都没有占用更多的空间,所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

    常见的空间复杂度有 O(1)、O(n)、O(n的平方),像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到,而且,空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/zyl1994/p/14761736.html
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