统计学基础之常用统计量和抽样分布

目录：

一、统计量

 1、概念

2、常用统计量

二、抽样分布

 1、常见三大抽样分布

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一、统计量：

1、概念：

        统计量是统计理论中用来对数据进行分析、检验的变量。在实际应用中，当我们从某个总体中抽取一个样本（X1，X2，X3......，Xn）后，并不能直接用它对总体的有关性质和特征进行推断，因为样本虽说是从总体中获取的代表，含有总体性质的信息，但还是会比较分散。当我们需要将统计的推断变成可能的，必须要把分散在样本中的信息集中起来，针对不同的目的，构造不同的样本函数，这种函数在统计学中成为统计量。

        统计量是样本的一个函数。有样本构造具体的统计量，实际是对样本所含的总体信息按照一些要求进行加工处理，把分散在样本中的信息集中都统计量的取值上。不同的统计推断问题要求构造不同的统计量。统计量是统计推断的基础，相当于概率论中的随机变量。在统计量的公式中不能依赖于总体分布的未知参数，如包含E(X),D(X)的都不是统计量。

2、常用统计量：

　　一般在概率论中，将数学期望和方差等概念用‘矩’的概念描述。当n充分大时，有定理可以保证经验分布函数Fn（x）很靠近总体分布函数F（x）。所以，经验分布函数Fn（x）的各阶矩就反映了总体各阶矩的信息。通常把经验分布函数的各阶矩称为样本各阶矩。常用的样本各阶矩及其函数都是实际应用中的具体统计量。

2.1、样本均值

，反映出总体X数学期望的信息。

2.2、样本方差

，反映的是总体X方差的信息

2.3、样本变异系数

，反映出总体变异系数C的信息。其中变异系数定义为，反映出随机变量在以它的均值为单位时取值的离散程度。消除了均值不同对不同总体的离散程度的影响，用来刻画均值不同时不同总体的离散程度。可应用与投资项目的风险分析、不同群体或行业的收入差距描述中。

2.4、样本k阶矩

，称为样本k阶矩。反映了总体k阶矩的信息。m_{1即即样本均值。}

2.5、样本k阶中心矩

，称为样本k阶中心矩。反映出总体k阶中心矩的信息。即样本方差。

2.6、样本偏度

，反映了总体偏度的信息。偏度反映了随机变量密度函数曲线在众数（密度函数在这一点达到最大值）两边的偏斜型。若X~N(μ，σ²)，则偏度为0。

2.7、样本峰度

，反映出总体峰度的信息。峰度反映了密度函数曲线在众数附近的“峰”的尖峭程度。正态随机变量X~N(μ，σ²)的峰度为0。偏度和峰度多应用在质量控制和可靠性研究中。

2.8、次序统计量

　　设 X1,X2, …, Xn是取自总体X的样本，X(i) 称为该样本的第i个次序统计量，它的取值是将样本观测值由小到大排列后得到的第i个观测值。从小到大排序为x(1),x(2), …,x(n)，则称X(1),X(2), …,X(n)为顺序统计量。

　　则

　　

　　(1) 最小顺序统计量 

　　(2)最大顺序统计量

　　(3) 极差(Range) 

　　(4)四分位极差(iql) 

　　样本X1,X2,…,Xn是独立同分布的，而次序统计量X(1),X(2),…,X(n) 则既不独立，分布也不相同。 

2.9、充分统计量

 设  是来自分布函数  的样本  是一个统计量，如果在给定  的条件下，x的分布与  无关，则称统计量  为  的充分统计量。

一个统计量  是参数  的充分统计量，其充分必要条件是存在一个t与  的函数  和一个样本的函数  ，使得对于任何一个样本x和任意的  ，样本的联合密度函数  可以表示为它们的乘积，即

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二、抽样分布

　　抽样分布、参数估计、假设检验是统计推断的重要内容。研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于抽样分布的性质。 

　　在总体X的分布类型已知时，若对任一自然数n都能导出统计量T = T（X₁，X₂，...，X_n）的分布的数学表达式，这种分布称为精确的抽样分布，对于样本量n较小的统计推断问题很有作用。精确的抽样分布大多是在正态总体情况下得到的。在正态总体的体检下，主要有分布，t分布，F分布。

2.1、分布

　　设随机变量X₁，X₂，...，X_n相互独立，且X_i（i=1，2，...，n）服从标准正态分布N（0,1），则它们的平方和服从自由度为n的分布。

　　自由度是统计学常用的概念，可以理解为独立变量的个数，也可理解为二次型的秩。如：Y=X²是自由度为1的分布，rank（Y）=1；Z=是自由度为n的分布，rank（Z）=n。

　　分布的数学期望为E()=n，方差为D()=2n。

　　分布具有可加性，即若~（n₁），~（n₂），且独立，则+~（n₁+n₂）。

　　当自由度足够大时，分布的概率密度曲线趋于对称。当n--->+∞时，分布的极限分布是正态分布。

2.2、t分布

设随机变量X~N（0,1），Y~（n），且X与Y独立，则，记t(n).。n为自由度。t分布的密度函数是一偶函数。其密度函数与标准正态分布和很相似，都为单峰偶函数。

2.3、F分布

主要应用于方差分析、回归方程的显著性检验中。

设随机变量Y与Z相互独立，且Y和Z分别服从自由度为m和n 的分布，随机变量，则称X服从第一自由度m，第二自由度为n的F分布，记为F（m，n）。两个自由度的位置不可互换。

如果随机变量X服从t(n)分布，则X²服从F（1，n）的F分布。

2.4、样本均值的分布与中心极限定理

总体分布为正太分布的样本均值的分布。

当总体分布为正态分布N（μ，σ²）时，的抽样分布仍为正态分布，期望为μ，方差为σ²/n。

中心极限定理：设从均值μ，方差σ²的任意一个总体中抽取样本量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ，方差为σ²/n的正态分布。

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本文参考中国人民大学出版社《统计学》第七版