exgcd(扩展欧几里得)求同余式

扩展欧几里得是在欧几里得辗转相除法求最大公约数的基础上求解方程 d=ax + by;

其中d=gcd(a, b),

以下程序可以解出x, y.

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long x, y;
long long exgcd(long long a, long long b)
{
	if(b==0) {
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}	
	long long d=exgcd(b, a%b);
	long long temp=x;
	x=y;
	y=temp - a/b*y;
	return d;
} 
int main()
{
	long long n, m;
	scanf("%lld%lld", &n, &m);
	if(n<m)
		swap(n, m);
	long long d=exgcd(n, m);
	printf("%lld %lld %lld
", x, y, d);
	return 0;
}

而同余式求解需要借助exgcd

同余式的形式 ax=b(mod n)   即ax%n=b, 求解x.

设d = gcd(a, n). 当b%d==0 时同余式有解.一共有d个解，

令d = ap + nq, 用exgcd求出p, q, 则x的一个解为b*p/d.

t=n/d, 最小整数解为((b*p/d) % t+t) %t(+t防止出现负数)

举个例子: 63x=1(mod 13) 求解x                                                                                                                                                d=gcd(63, 13)=1, 1%1==0 , 所以有解,                                                                                                                                   1=63p+13q, exgcd解得p = 6 , q = -29; 则x的一个解为 1*6/1=6, 即 63*6 = 1(mod 13).