洛谷P1044 ：栈（卡特兰数）

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1044

题目背景

栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。

栈有两种最重要的操作，即pop（从栈顶弹出一个元素）和push（将一个元素进栈）。

栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。

题目描述

宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，1,2,.....n（图示为1到3的情况），栈A的深度大于n。

现在可以进行两种操作，

1. 将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的push操作）

2. 将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的pop操作）

使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由123生成序列231的过程。

（原始状态如上图所示）

你的程序将对给定的n，计算并输出由操作数序列1,2,…,n经过操作可能得到的输出序列的总数。

输入输出格式

输入格式：

输入文件只含一个整数n(1≤n≤18)

输出格式：

输出文件只有1行，即可能输出序列的总数目

设 x 为当前出栈序列的最后一个，则x有n种取值,因为每一个数都可能最后出栈。

由于x是最后一个出栈的，所以可以将已经出栈的数分成两部分

1. 比x小

2. 比x大

比x小的数有x-1个，所以这些数的全部出栈可能为f[x-1]

比x大的数有n-x个，所以这些数的全部出栈可能为f[n-x]

所以一个x的取值能够得到的所有可能性为f[x-1] * f[n-x]

另外，由于x有n个取值，所以

ans = f[0]*f[n-1] + f[1]*f[n-2] + ... + f[n-1]*f[0];

这就是所谓的卡特兰数。

#include<stdio.h>
#define N 20
long long a[N];
int main()
{
    int n,i,j;
    scanf("%d",&n);
    a[0]=1;
    a[1]=1;
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        for(j=0;j<i;j++)
            a[i]+=a[j]*a[i-j-1];
    }
        
    printf("%lld
",a[n]);
    return 0;
} 

题目描述

小和尚每日练武真的是很累啊，但是为了以后更和谐。也没有办法了，只能天天那刻苦了；有一日练武结束后去找师傅聊天，猛然间，师傅说到，其实在这个世界上想混的好的话，光武功高是不行的，也要能喷能聊，你们要多读书了，从此以后小和尚每天都要抽出一部分时间来读书，有一天看到了一个叫卡特兰数的东西，看了半天你没有看懂，只知道是个数列，因此想让小朋友们帮忙找到数列前边的一些卡特兰数；快快帮忙吧；
注:　卡特兰数递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n + 1) (n=1,2,3,)

输入

输入数据有多组，每组数据首先输入一个整数n(n<=30). 然后有n个正整数m(每个正整数m<50)；

输出

对于每个正整数m,输出相应的卡特兰数，每个数占一行；

样例输入

3
1
2
3

样例输出

1
2
5

#include<stdio.h>
#define N 35
long long a[N];
int main()
{
	int n,i,j,t;
	a[0]=1;
	a[1]=1;
	for(i=2;i<=30;i++)
	{
		for(j=0;j<i;j++)
			a[i]+=a[j]*a[i-j-1];
	}
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d",&n);
		printf("%lld
",a[n]);
	}	
	return 0;
}