前言
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三、池化层
池化是缩小高、长方向上的空间的运算。比如，如图 7-14 所示，进行将 2 × 2 的区域集约成 1 个元素的处理，缩小空间大小。
图 7-14 Max 池化的处理顺序
图 7-14 的例子是按步幅 2 进行 2 × 2 的 Max 池化时的处理顺序。“Max 池化”是获取最大值的运算，“2 × 2”表示目标区域的大小。如图所示，从 2 × 2 的区域中取出最大的元素。此外，这个例子中将步幅设为了 2，所以 2 × 2 的窗口的移动间隔为 2 个元素。另外，一般来说，池化的窗口大小会和步幅设定成相同的值。比如，3 × 3 的窗口的步幅会设为 3，4 × 4 的窗口的步幅会设为 4 等。
除了 Max 池化之外，还有 Average 池化等。相对于 Max 池化是从目标区域中取出最大值，Average 池化则是计算目标区域的平均值。在图像识别领域，主要使用 Max 池化。因此，本书中说到“池化层”时，指的是 Max 池化。
池化层的特征
池化层有以下特征。
没有要学习的参数
池化层和卷积层不同，没有要学习的参数。池化只是从目标区域中取最大值（或者平均值），所以不存在要学习的参数。
通道数不发生变化
经过池化运算，输入数据和输出数据的通道数不会发生变化。如图 7-15 所示，计算是按通道独立进行的。
图 7-15 池化中通道数不变
对微小的位置变化具有鲁棒性（健壮）
输入数据发生微小偏差时，池化仍会返回相同的结果。因此，池化对输入数据的微小偏差具有鲁棒性。比如，3 × 3 的池化的情况下，如图 7-16 所示，池化会吸收输入数据的偏差（根据数据的不同，结果有可能不一致）。
图 7-16 输入数据在宽度方向上只偏离 1 个元素时，输出仍为相同的结果（根据数据的不同，有时结果也不相同）
四、卷积层和池化层的实现
1、4维数组
如前所述，CNN 中各层间传递的数据是 4 维数据。所谓 4 维数据，比如数据的形状是 (10, 1, 28, 28)，则它对应 10 个高为 28、长为 28、通道为 1 的数据。用 Python 来实现的话，如下所示。
2、基于im2col的展开
使用im2col 这个便利的函数进行简单的实现。im2col 是一个函数，将输入数据展开以适合滤波器（权重）。如图 7-17 所示，对 3 维的输入数据应用 im2col 后，数据转换为 2 维矩阵（正确地讲，是把包含批数量的 4 维数据转换成了 2 维数据）。
图 7-17 im2col 的示意图
im2col 会把输入数据展开以适合滤波器（权重）。具体地说，如图 7-18 所示，对于输入数据，将应用滤波器的区域（3 维方块）横向展开为 1 列。im2col 会在所有应用滤波器的地方进行这个展开处理。
在图 7-18 中，为了便于观察，将步幅设置得很大，以使滤波器的应用区域不重叠。而在实际的卷积运算中，滤波器的应用区域几乎都是重叠的。在滤波器的应用区域重叠的情况下，使用 im2col 展开后，展开后的元素个数会多于原方块的元素个数。因此，使用 im2col 的实现存在比普通的实现消耗更多内存的缺点。但是，汇总成一个大的矩阵进行计算，对计算机的计算颇有益处。比如，在矩阵计算的库（线性代数库）等中，矩阵计算的实现已被高度最优化，可以高速地进行大矩阵的乘法运算。因此，通过归结到矩阵计算上，可以有效地利用线性代数库。
im2col这个名称是“image to column”的缩写，翻译过来就是“从图像到矩阵”的意思。Caffe、Chainer 等深度学习框架中有名为im2col的函数，并且在卷积层的实现中，都使用了im2col。
使用 im2col 展开输入数据后，之后就只需将卷积层的滤波器（权重）纵向展开为 1 列，并计算 2 个矩阵的乘积即可（参照图 7-19）。这和全连接层的 Affine层进行的处理基本相同。
如图 7-19 所示，基于 im2col 方式的输出结果是 2 维矩阵。因为 CNN 中数据会保存为 4 维数组，所以要将 2 维输出数据转换为合适的形状。以上就是卷积层的实现流程。
图 7-19 卷积运算的滤波器处理的细节：将滤波器纵向展开为 1 列，并计算和 im2col 展开的数据的矩阵乘积，最后转换（reshape）为输出数据的大小
3、卷积层的实现
im2col函数接口
im2col (input_data, filter_h, filter_w, stride=1, pad=0)
input_data——由（数据量，通道，高，长）的 4 维数组构成的输入数据filter_h——滤波器的高filter_w——滤波器的长stride——步幅pad——填充
im2col 会考虑滤波器大小、步幅、填充，将输入数据展开为 2 维数组。下例中，实际使用一下这个 im2col。
import sys, os sys.path.append(os.pardir) from common.util import im2col x1 = np.random.rand(1, 3, 7, 7) col1 = im2col(x1, 5, 5, stride=1, pad=0) print(col1.shape) # (9, 75) x2 = np.random.rand(10, 3, 7, 7) # 10个数据 col2 = im2col(x2, 5, 5, stride=1, pad=0) print(col2.shape) # (90, 75)
这里举了两个例子。第一个是批大小为 1、通道为 3 的 7 × 7 的数据，第二个的批大小为 10，数据形状和第一个相同。分别对其应用 im2col 函数，在这两种情形下，第 2 维的元素个数均为 75。这是滤波器（通道为 3、大小为 5 × 5）的元素个数的总和。批大小为 1 时，im2col 的结果是 (9, 75)。而第 2 个例子中批大小为 10，所以保存了 10 倍的数据，即 (90, 75)。
使用im2col 来实现卷积层。这里我们将卷积层实现为名为Convolution的类。
class Convolution: def __init__(self, W, b, stride=1, pad=0): self.W = W self.b = b self.stride = stride self.pad = pad def forward(self, x): FN, C, FH, FW = self.W.shape N, C, H, W = x.shape out_h = int(1 + (H + 2*self.pad - FH) / self.stride) out_w = int(1 + (W + 2*self.pad - FW) / self.stride) col = im2col(x, FH, FW, self.stride, self.pad) col_W = self.W.reshape(FN, -1).T # 滤波器的展开 out = np.dot(col, col_W) + self.b out = out.reshape(N, out_h, out_w, -1).transpose(0, 3, 1, 2) return out
卷积层的初始化方法将滤波器（权重）、偏置、步幅、填充作为参数接收。滤波器是 (FN, C, FH, FW) 的 4 维形状。另外，FN、C、FH、FW 分别是 Filter Number（滤波器数量）、Channel、Filter Height、Filter Width 的缩写。
这里用粗体字表示 Convolution 层的实现中的重要部分。在这些粗体字部分，用im2col 展开输入数据，并用 reshape 将滤波器展开为 2 维数组。然后，计算展开后的矩阵的乘积。
展开滤波器的部分（代码段中的粗体字）如图 7-19 所示，将各个滤波器的方块纵向展开为 1 列。这里通过 reshape(FN,-1) 将参数指定为 -1，这是reshape 的一个便利的功能。通过在 reshape 时指定为 -1，reshape 函数会自动计算 -1 维度上的元素个数，以使多维数组的元素个数前后一致。比如，(10, 3, 5, 5) 形状的数组的元素个数共有 750 个，指定 reshape(10,-1) 后，就会转换成 (10, 75) 形状的数组。
forward 的实现中，最后会将输出大小转换为合适的形状。转换时使用了 NumPy 的 transpose 函数。transpose 会更改多维数组的轴的顺序。如图 7-20 所示，通过指定从 0 开始的索引（编号）序列，就可以更改轴的顺序。
图 7-20 基于 NumPy 的 transpose 的轴顺序的更改：通过指定索引（编号），更改轴的顺序
以上就是卷积层的 forward 处理的实现。通过使用 im2col 进行展开，基本上可以像实现全连接层的 Affine 层一样来实现（5.6 节）。接下来是卷积层的反向传播的实现，因为和 Affine 层的实现有很多共通的地方，所以就不再介绍了。但有一点需要注意，在进行卷积层的反向传播时，必须进行 im2col 的逆处理。这可以使用本书提供的 col2im 函数（col2im 的实现在 common/util.py中）来进行。除了使用 col2im 这一点，卷积层的反向传播和 Affine 层的实现方式都一样。卷积层的反向传播的实现在 common/layer.py 中
4、池化层的实现
池化层的实现和卷积层相同，都使用 im2col 展开输入数据。不过，池化的情况下，在通道方向上是独立的，这一点和卷积层不同。具体地讲，如图 7-21 所示，池化的应用区域按通道单独展开。
图 7-21 对输入数据展开池化的应用区域（2×2 的池化的例子）
像这样展开之后，只需对展开的矩阵求各行的最大值，并转换为合适的形状即可（图 7-22）。
图 7-22 池化层的实现流程：池化的应用区域内的最大值元素用灰色表示
上面就是池化层的 forward 处理的实现流程。下面来看一下 Python 的实现示例。
class Pooling: def __init__(self, pool_h, pool_w, stride=1, pad=0): self.pool_h = pool_h self.pool_w = pool_w self.stride = stride self.pad = pad def forward(self, x): N, C, H, W = x.shape out_h = int(1 + (H - self.pool_h) / self.stride) out_w = int(1 + (W - self.pool_w) / self.stride) # 展开(1) col = im2col(x, self.pool_h, self.pool_w, self.stride, self.pad) col = col.reshape(-1, self.pool_h*self.pool_w) # 最大值(2) out = np.max(col, axis=1) # 转换(3) out = out.reshape(N, out_h, out_w, C).transpose(0, 3, 1, 2) return out
如图 7-22 所示，池化层的实现按下面 3 个阶段进行。
- 展开输入数据。
- 求各行的最大值。
- 转换为合适的输出大小。
各阶段的实现都很简单，只有一两行代码。
最大值的计算可以使用 NumPy 的
np.max方法。np.max可以指定axis参数，并在这个参数指定的各个轴方向上求最大值。比如，如果写成np.max(x, axis=1)，就可以在输入x的第 1 维的各个轴方向上求最大值。
以上就是池化层的 forward 处理的介绍。如上所述，通过将输入数据展开为容易进行池化的形状，后面的实现就会变得非常简单。
关于池化层的 backward 处理，之前已经介绍过相关内容，这里就不再介绍了。另外，池化层的 backward 处理可以参考 ReLU 层的实现中使用的 max 的反向传播（5.5.1 节）。池化层的实现在 common/layer.py 中。