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  • 【BZOJ3309】DZY Loves Math(线性筛)

    题目:

    BZOJ 3309

    分析:

    首先,经过一番非常套路的莫比乌斯反演(实在懒得写了),我们得到:

    [sum_{T=1}^n sum_{d|T}f(d)mu(frac{T}{d})lfloorfrac{n}{T} floorlfloorfrac{m}{T} floor ]

    那么,我们现在如果预处理出 (g(n)=sum_{d|n}f(d)mu(frac{n}{d})) 的前缀和,就可以数论分块 (O(sqrt{n})) 处理每次询问了。

    (mu) 函数有一个重要的性质:当 (n) 是某个数平方的倍数时(即某个质因子的次数不小于 (2) ), (mu(n)=0) 。所以,真正有贡献的项只能是 (frac{n}{d}) 的质因子互不相同的项,共有 (2^k) 项,其中 (k)(n) 的质因子种数(相当于每种质因子的次数要么为 (0) ,要么为 (1) )。

    设这 (k) 个质因子中有 (a) 个的次数为 (f(n)) ,则这 (2^k) 项中有 (2^{k-a}) 项的 (f(d))(f(n)-1) (即这 (a) 个质因子 全部 选入 (frac{n}{d}) 的情况),其余情况为 (f(n)) 。根据 (mu) 的定义,每一项乘上的系数与选了多少个质因子进入 (frac{n}{d}) 有关,奇数为 (-1) ,偶数为 (1) 。而这 (2^{k-a}) 项中(暂定 (k>a) ),选的质因子数为奇数、偶数的项数相等,所以和为 (0) 。同理,剩下 (2^k-2^{k-a}) 项之和也是 (0)

    但是,当 (k=a) 时,(f(d)=f(n)-1) 的只有 (2^{k-a}=1) 项,绝对值为 (f(n)-1) 而不是 (0) 。同时,此时 (f(d)=f(n)) 的项也是奇数个,和的绝对值为 (f(n)) 。这两项具体的符号与 (k) 的奇偶性有关(并且一定符号相反)。稍微推一下可得,当 (k) 为奇数, (g(n)=1) ;当 (k) 为偶数, (g(n)=-1)

    综上可得

    [g(n)=egin{cases} 0 (k eq a)\ 1 (k=a且k是奇数)\ -1 (k=a且k是偶数) end{cases}]

    代码:

    #include <cstdio>
    #include <algorithm>
    #include <cctype>
    #include <cstring>
    using namespace std;
     
    namespace zyt
    {
    	template<typename T>
    	inline bool read(T &x)
    	{
    		char c;
    		bool f = false;
    		x = 0;
    		do
    			c = getchar();
    		while (c != EOF && c != '-' && !isdigit(c));
    		if (c == EOF)
    			return false;
    		if (c == '-')
    			f = true, c = getchar();
    		do
    			x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    		while (isdigit(c));
    		if (f)
    			x = -x;
    		return true;
    	}
    	template<typename T>
    	inline void write(T x)
    	{
    		static char buf[20];
    		char *pos = buf;
    		if (x < 0)
    			putchar('-'), x = -x;
    		do
    			*pos++ = x % 10 + '0';
    		while (x /= 10);
    		while (pos > buf)
    			putchar(*--pos);
    	}
    	typedef long long ll;
    	const int N = 1e7 + 10;
    	int prime[N], f[N], g[N], num[N], cnt[N], tot[N], pcnt;
    	bool mark[N];
    	void init()
    	{
    		f[1] = 0;
    		for (int i = 2; i < N; i++)
    		{
    			if (!mark[i])
    				prime[++pcnt] = i, f[i] = num[i] = cnt[i] = tot[i] = 1;
    			for (int j = 1; j <= pcnt && (ll)i * prime[j] < N; j++)
    			{
    				int k = i * prime[j];
    				mark[k] = true;
    				if (i % prime[j] == 0)
    				{
    					num[k] = num[i] + 1;
    					f[k] = max(f[i], num[k]);
    					tot[k] = tot[i];
    					if (f[i] == num[k])
    						cnt[k] = cnt[i] + 1;
    					else if (f[i] > num[k])
    						cnt[k] = cnt[i];
    					else
    						cnt[k] = 1;
    					break;
    				}
    				else
    				{
    					num[k] = 1;
    					f[k] = max(f[i], 1);
    					tot[k] = tot[i] + 1;
    					if (f[i] == 1)
    						cnt[k] = cnt[i] + 1;
    					else
    						cnt[k] = cnt[i];
    				}
    			}
    		}
    		g[1] = 0;
    		for (int i = 2; i < N; i++)
    			g[i] = (cnt[i] == tot[i] ? ((tot[i] & 1) ? 1 : -1) : 0) + g[i - 1];
    	}
    	int work()
    	{
    		int T;
    		read(T);
    		init();
    		while (T--)
    		{
    			int n, m;
    			read(n), read(m);
    			if (n > m)
    				swap(n, m);
    			int pos = 1;
    			ll ans = 0;
    			while (pos <= n)
    			{
    				int tmp = min(n / (n / pos), m / (m / pos));
    				ans += ll(g[tmp] - g[pos - 1]) * (n / pos) * (m / pos);
    				pos = tmp + 1;
    			}
    			write(ans), putchar('
    ');
    		}
    		return 0;
    	}
    }
    int main()
    {
    #ifdef BlueSpirit
    	freopen("3309.in", "r", stdin);
    #endif
    	return zyt::work();
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/zyt1253679098/p/10917006.html
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