题目:
分析:
首先,经过一番非常套路的莫比乌斯反演(实在懒得写了),我们得到:
那么,我们现在如果预处理出 (g(n)=sum_{d|n}f(d)mu(frac{n}{d})) 的前缀和,就可以数论分块 (O(sqrt{n})) 处理每次询问了。
(mu) 函数有一个重要的性质:当 (n) 是某个数平方的倍数时(即某个质因子的次数不小于 (2) ), (mu(n)=0) 。所以,真正有贡献的项只能是 (frac{n}{d}) 的质因子互不相同的项,共有 (2^k) 项,其中 (k) 是 (n) 的质因子种数(相当于每种质因子的次数要么为 (0) ,要么为 (1) )。
设这 (k) 个质因子中有 (a) 个的次数为 (f(n)) ,则这 (2^k) 项中有 (2^{k-a}) 项的 (f(d)) 为 (f(n)-1) (即这 (a) 个质因子 全部 选入 (frac{n}{d}) 的情况),其余情况为 (f(n)) 。根据 (mu) 的定义,每一项乘上的系数与选了多少个质因子进入 (frac{n}{d}) 有关,奇数为 (-1) ,偶数为 (1) 。而这 (2^{k-a}) 项中(暂定 (k>a) ),选的质因子数为奇数、偶数的项数相等,所以和为 (0) 。同理,剩下 (2^k-2^{k-a}) 项之和也是 (0)
但是,当 (k=a) 时,(f(d)=f(n)-1) 的只有 (2^{k-a}=1) 项,绝对值为 (f(n)-1) 而不是 (0) 。同时,此时 (f(d)=f(n)) 的项也是奇数个,和的绝对值为 (f(n)) 。这两项具体的符号与 (k) 的奇偶性有关(并且一定符号相反)。稍微推一下可得,当 (k) 为奇数, (g(n)=1) ;当 (k) 为偶数, (g(n)=-1) 。
综上可得
代码:
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstring>
using namespace std;
namespace zyt
{
template<typename T>
inline bool read(T &x)
{
char c;
bool f = false;
x = 0;
do
c = getchar();
while (c != EOF && c != '-' && !isdigit(c));
if (c == EOF)
return false;
if (c == '-')
f = true, c = getchar();
do
x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
while (isdigit(c));
if (f)
x = -x;
return true;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
static char buf[20];
char *pos = buf;
if (x < 0)
putchar('-'), x = -x;
do
*pos++ = x % 10 + '0';
while (x /= 10);
while (pos > buf)
putchar(*--pos);
}
typedef long long ll;
const int N = 1e7 + 10;
int prime[N], f[N], g[N], num[N], cnt[N], tot[N], pcnt;
bool mark[N];
void init()
{
f[1] = 0;
for (int i = 2; i < N; i++)
{
if (!mark[i])
prime[++pcnt] = i, f[i] = num[i] = cnt[i] = tot[i] = 1;
for (int j = 1; j <= pcnt && (ll)i * prime[j] < N; j++)
{
int k = i * prime[j];
mark[k] = true;
if (i % prime[j] == 0)
{
num[k] = num[i] + 1;
f[k] = max(f[i], num[k]);
tot[k] = tot[i];
if (f[i] == num[k])
cnt[k] = cnt[i] + 1;
else if (f[i] > num[k])
cnt[k] = cnt[i];
else
cnt[k] = 1;
break;
}
else
{
num[k] = 1;
f[k] = max(f[i], 1);
tot[k] = tot[i] + 1;
if (f[i] == 1)
cnt[k] = cnt[i] + 1;
else
cnt[k] = cnt[i];
}
}
}
g[1] = 0;
for (int i = 2; i < N; i++)
g[i] = (cnt[i] == tot[i] ? ((tot[i] & 1) ? 1 : -1) : 0) + g[i - 1];
}
int work()
{
int T;
read(T);
init();
while (T--)
{
int n, m;
read(n), read(m);
if (n > m)
swap(n, m);
int pos = 1;
ll ans = 0;
while (pos <= n)
{
int tmp = min(n / (n / pos), m / (m / pos));
ans += ll(g[tmp] - g[pos - 1]) * (n / pos) * (m / pos);
pos = tmp + 1;
}
write(ans), putchar('
');
}
return 0;
}
}
int main()
{
#ifdef BlueSpirit
freopen("3309.in", "r", stdin);
#endif
return zyt::work();
}