【知识总结】微积分入门（《微积分的本质》学习笔记）

参考资料：【官方双语/合集】微积分的本质 - 系列合集 - 3Blue1Brown - bilibili （搭配食用体验更佳）

这篇文章中有很多内容都推荐用 数形结合 的方法来学习。

导数入门

两种重要的、针对函数的运算：求导与积分。它们的运算结果也是一个函数。

先说求导。对于函数 (f(x)) ，它的 导函数 （即求导运算的结果，简称导数）记作 (f'(x)) 。简单来说，(f'(x_0)) 就是(f(x)) 在 (x_0) 这点的切线斜率。即， (f'(x)) 是 (f(x)) 的切线斜率关于切点横坐标的函数。

为了方便描述，引入一个表示「微小变化量」（自己起的名字）的符号。以后默认用 (dx) 表示变量 (x) 的变化量（ (dy) 表示变量 (y) 的变化量，以此类推），且 (dx) 趋近于 (0) 。那么对于 (x_0) 和它的函数值 (f(x)=y) ，设当 (x) 增加了 (dx) 时 (y) 增加了 (dy) 。由于这个变化量是「微小」（趋近于 (0) ）的，所以 (x) 和 (x+dx) 之间的函数图象可以近似成一条直线，它的斜率就是 (frac{dy}{dx}) 。因此，有时也把导函数写成 (f'(x)=frac{dy}{dx}) 。注意，不同的 (x) 会造成 (dy) 取不同的值。

有点懵？先从最简单的例子——一次函数说起。显然，无论 (x) 如何改变，也无论 (dx) 取何值（哪怕不趋近于 (0) ） ，(frac{dy}{dx}) 都是一个定值，即这个一次函数的斜率 (k) （换句话说，这个一次函数处处的切线都与它本身重合）。因此，一次函数的导数是一个常函数 (f'(x)=k) 。

再举一个稍复杂的例子。对于 (f(x)=x^2) ，可以这样求出它的导函数：

[egin{aligned} f'(x)&=frac{dy}{dx}\ &=frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}\ &=frac{(x+dx)^2-x^2}{dx}\ &=frac{2dxcdot x+dx^2}{dx}\ &=2x+dxend{aligned}]

由于 (dx) 趋近于 (0) ，所以 (f'(x)=2x) 。于是我们成功算出了 (f(x)=x^2) 的导数是 (f'(x)=2x) 。 鼓掌！

不妨再拓展一下，证明 (f(x)=x^k) 的导数是 (f'(x)=kx^{k-1}) 。做法和刚才类似（其中用了一次二项式定理）：

[egin{aligned} f'(x_0)&=frac{f(x_0+dx)-f(x_0)}{dx}\ &=frac{(x_0+dx)^k-x_0^k}{dx}\ &=frac{sum_{i=0}^{k}C_k^ix_0^idx^{k-i}-x_0^k}{dx}\ &=frac{sum_{i=0}^{k-1}C_k^ix_0^idx^{k-i}}{dx}\ &=sum_{i=0}^{k-1}C_k^ix_0^idx^{k-i-1} end{aligned}]

到这里似乎不知道怎么办了？别忘了 (dx) 趋近于 (0) ，所以只有 (k-i-1=0) 即 (i=k-1) 这一项是非 (0) 的！激动.jpg 。所以，(f'(x_0)=kx_0^{k-1}) 。(x_0) 是任意的，所以 (f'(x)=kx^{k-1}) 。

导数的运算

导数的加减

[h(x)=f(x)+g(x),h'(x)=f'(x)+g'(x) ]

设 (y_f=f(x)) ，(y_g=g(x)) ，(y_h=h(x)) （类似的记号下面不再赘述） ，同时别忘了 (f'(x)=frac{dy_f}{dx}) ， (g'(x)=frac{dy_g}{dx}) ，则有：

[ecause y_h=y_f+y_g,(y_h+dy_h)=(y_f+dy_f)+(y_g+dy_g)]

[egin{aligned} herefore dy_h&=dy_f+dy_g\ &=f'(x)dx+g'(x)dx\ &=(f'(x)+g'(x))dxend{aligned}]

两边同时除以 (dx) ，得到 (h'(x)=frac{dy_h}{dx}=f'(x)+g'(x)) 。

导数的乘法

[h(x)=f(x)g(x),h'(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x) ]

口诀：「左乘右导，右乘左导」（来自文首的视频）

证明如下：

[ecause y_h=y_fcdot y_g,(y_h+dy_h)=(y_f+dy_f)cdot(y_g+dy_g)]

[egin{aligned} herefore dy_h&=y_fcdot y_g+y_fcdot dy_g + y_g cdot dy_f+dy_fcdot dy_g-y_h\ &=y_fcdot dy_g + y_g cdot dy_f+dy_fcdot dy_g\ &=f(x)cdot g'(x)dx+g(x)cdot f'(x)dx+f'(x)dxcdot g'(x)dx\ end{aligned}]

两边同时除以 (dx) 得：

[h'(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)+f'(x)g'(x)dx ]

同样，带 (dx) 的项趋近于 (0) ，因此 (h'(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)) 。

链式法则

若 (h(x)=f(g(x))) ，则 (h'(x)=f'(g(x))cdot g'(x)) 。

这个证明口胡一发吧，我实在不知道怎么表述了 ……

当自变量从 (x_0) 变成 (x_0+dx) ，则 (y_f) 的变化量是 (f'(x_0)dx) 。现在，(g) 的自变量的变化量是 (dx) ，(y_g) 的变化量是 (g'(x)dx) ，所以 (y_f) 的变化量是 (f'(g(x))cdot g'(x)dx) （注意 (f) 的自变量的初值是 (g(x)) 不是 (x) ）。因此 (h'(x)=f'(g(x))cdot g'(x)) 。

导数的除法

若 (h(x)=frac{f(x)}{g(x)}) ，则 (h'(x)=frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2})

证明：

[ecause y_h=frac{y_f}{y_g},(y_h+dy_h)=frac{y_f+dy_f}{y_g+dy_g} ]

[egin{aligned} herefore dy_h&=frac{y_f+dy_f}{y_g+dy_g}-frac{y_f}{y_g}\ &=frac{y_g(y_f+dy_f)-y_f(y_g+dy_g)}{y_g(y_g+dy_g)}\ &=frac{g(x)f(x)+g(x)f'(x)dx-f(x)g(x)-f(x)g'(x)dx}{g(x)^2+g(x)g'(x)dx}\ &=frac{g(x)f'(x)dx-f(x)g'(x)dx}{g(x)^2+g(x)g'(x)dx}\ end{aligned}]

两边同时除以 (x) ，得到：

[h'(x)=frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2+g(x)g'(x)dx} ]

由于 (dx) 趋于 (0) ，所以：

[h'(x)=frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2} ]

常见函数的导数

（NOI 前临时抱佛脚用的，想到再补充）

(f(x))	(f'(x))
(a)	(0)
(x^k)	(kx^{k-1})
(e^x)	(e^x)
(ln(x))	(frac{1}{x})
(sin(x))	(cos(x))
(cos(x))	(-sin(x))