浅谈建图优化

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【1】2020.10.16-20:40

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正文

在一些图论题中，我们可能会遇到一些题目让你对区间进行连边

这个时候如果我们暴力进行连边显然是会超时的

我们就要考虑有没有什么办法可以快速的进行区间连边

这个时候就要祭出区间操作的神器 - 线段树

线段树上的非叶节点表示的是区间，我们就可以直接对他们进行连边

举个例子，我们连一条 (2) 与区间 ([3,5]) 之间的双向边

首先进行建树：

我们发现，如果只建一棵树的话，会出现访问错误
例如 ([mid+1,r]) 会沿着区间错误的访问到 ([l,r])

所以我们正反边各建一棵线段树：

然后让叶节点没有入度的那棵线段树向节点 (2) 连一条单向边，然后从节点 (2) 向没有出度的那棵线段树连一条单向边

就像这样：

之后我们按照原来的套路进行操作即可

CF786B Legacy

【题意简化】

给你一个 (n) 个点的有向图，图上有 (3) 种边

• 1.(u o v) 边权为 (w)
• 2.(u o[l,r]) 边权为 (w)
• 3.([l,r] o u) 边权为 (w)

求 (s) 点到所有点的最短路

这道题还算是有些麻烦，对于第一种边直接连接即可

第二种第三种就是将上面讲的双向边的连接拆成单向边进行连接

【代码实现】

#include<iostream>
#include<queue>
#include<cstring>
#define int long long
#define N 900004
#define M 5000050
using namespace std;
int n,q,s,num,head[N],dis[N],n2,n4,n8;
bool vis[N];
priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int> >,greater<pair<int,int> > >que;
namespace in {int type,l,r,f,t,w;}
struct Edge {int na,np,w;} e[M];
struct segtree {int l,r;} t[N];
inline void add(int f,int t,int w=0){
	e[++num].na=head[f];
	e[num].np=t;e[num].w=w;
	head[f]=num;
}
inline void dbadd(int f,int t,int w=0) {add(f,t,w);add(t,f,w);}
inline void tadd(int p,int plus=0,bool s=0) {
	if(!s) add(p+plus,(p<<1)+plus),add(p+plus,(p<<1|1)+plus);
	else add((p<<1)+plus,p+plus),add((p<<1|1)+plus,p+plus);
}
inline void build(int p,int l,int r){
	t[p].l=l;t[p].r=r;
	if(l==r){
		dbadd(l+n8,p);
		dbadd(l+n8,p+n4);
		return;
	}
	tadd(p);tadd(p,n4,1);
	int mid=(l+r)>>1;
	build(p<<1,l,mid);
	build(p<<1|1,mid+1,r);
}
inline void secadd(int p,int l,int r,int wp,int w,bool s){
	if(t[p].l==l&&t[p].r==r){
		if(!s) add(wp+n8,p,w);//s to p
		else add(p+n4,wp+n8,w);
		return;
	}
	int mid=(t[p].l+t[p].r)>>1;
	if(l<=mid) secadd(p<<1,l,r<mid?r:mid,wp,w,s);
	if(r>mid) secadd(p<<1|1,mid+1<l?l:mid+1,r,wp,w,s);
}
inline void dij(){
	memset(dis,0x7f,sizeof(dis));
	dis[s]=0;que.push(make_pair(0,s));
	while(!que.empty()){
		int p=que.top().second;que.pop();
		if(vis[p]) continue;
		vis[p]=1;
		for(int i=head[p];i;i=e[i].na){
			if(dis[e[i].np]>dis[p]+e[i].w){
				dis[e[i].np]=dis[p]+e[i].w;
				que.push(make_pair(dis[e[i].np],e[i].np));
			}
		}
	}
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n>>q>>s;
	n2=n<<1;n4=n<<2;n8=n<<3;
	build(1,1,n);
	using namespace in;
	for(int i=1;i<=q;i++){
		cin>>type;
		if(type==1){
			cin>>f>>in::t>>w;
			add(f+n8,in::t+n8,w);
		}
		else if(type==2){
			cin>>f>>l>>r>>w;
			secadd(1,l,r,f,w,0);
		}
		else{
			cin>>in::t>>l>>r>>w;
			secadd(1,l,r,in::t,w,1);
		}
	}
	s+=n8;
	dij();
	for(int i=1,p=n8;i<=n;i++)
		cout<<(dis[i+p]<1e18?dis[i+p]:-1)<<" 
"[i==n];
}

P6348 [PA2011]Journeys

这道题就是让我们区间对区间进行连边，然后求最短路

我们可以建两个虚点，然后这两个虚点之间的边的权值为 (1)，其他的边均为 (0)

第一个区间连到第一个点上，第二个区间连到第二个点上

因为是双向边，我们连两次单项边即可

又因为这道题只有 (0) 与 (1) 两个权值，我们可以不用最短路，而直接用01BFS去求

【代码实现】

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
#define N 10000006
using namespace std;
int n,m,p,fl,fr,tl,tr,n2,n4,n8,dis[N],head[N],num,nont[N],cnt;
struct Edge{int na,np,w;} e[N];
struct segtree{int l,r;} t[N];
deque<int>que;
inline void add(int f,int t,int w=0){
	e[++num].na=head[f];
	e[num].np=t;e[num].w=w;
	head[f]=num;
}
inline void dbadd(int f,int t) {add(f,t);add(t,f);}
inline void build(int p,int l,int r){
	t[p].l=l;t[p].r=r;
	if(l==r){
		nont[l]=p;
		dbadd(p,p+n4);
		return;
	}
	add(p,p<<1),add(p,p<<1|1);
	add((p<<1)+n4,p+n4),add((p<<1|1)+n4,p+n4);
	int mid=(l+r)>>1;
	build(p<<1,l,mid);build(p<<1|1,mid+1,r);
}
inline void sadd(int p,int l,int r,int wp,bool s){
	if(t[p].l==l&&t[p].r==r){
		if(!s) add(wp,p);
		else add(p+n4,wp);
		return;
	}
	int mid=(t[p].l+t[p].r)>>1;
	if(l<=mid) sadd(p<<1,l,r<mid?r:mid,wp,s);
	if(r>mid) sadd(p<<1|1,mid+1<l?l:mid+1,r,wp,s);
}
inline void dbsadd(int l1,int r1,int l2,int r2){
	int p1=++cnt,p2=++cnt;
	add(p2,p1,1);
	sadd(1,l2,r2,p1,0);
	sadd(1,l1,r1,p2,1);
	p1=++cnt,p2=++cnt;
	add(p2,p1,1);
	sadd(1,l2,r2,p2,1);
	sadd(1,l1,r1,p1,0);
	
}
inline void dij(){
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	dis[p]=0;que.push_front(p);
	while(que.size()){
		int bf=que.front();que.pop_front();
		for(int i=head[bf];i;i=e[i].na){
			if(dis[e[i].np]>dis[bf]+e[i].w){
				dis[e[i].np]=dis[bf]+e[i].w;
				if(!e[i].w) que.push_front(e[i].np);
				else que.push_back(e[i].np);
			}
		}
	}
}
signed main(){
	cin>>n>>m>>p;
	n2=n<<1;n4=n<<2;n8=n<<3;cnt=n8;
	build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cin>>fl>>fr>>tl>>tr;
		dbsadd(fl,fr,tl,tr);
	}
	p=nont[p]+n4;
	dij();
	for(int i=1;i<=n;i++) cout<<dis[nont[i]]<<"
";
}