倒霉的小C(beats)

题意/Description:

       小G最近迷上了岛国动漫《Angel Beats》，她为了画出一个更霸气的Angel Beats的logo，想了如下办法：
           从（0，0）开始，画到（n，1），再从（n，1），画到（2*n，-1），再到（3*n，2），再到（4*n，-2），依此类推，即每次画出一个（n，(-1)^(i+1)*i）的向量，一共画出n个这样的向量。现在小G想让小C求出这个图形穿过了多少格点（坐标都是整数）。
       由于小C想要认真地听他的数学课并且想自己在接力赛中因RP暴光而发生接力棒传错这类的糗事，所以这个问题就交给你啦。小G说，如果连你也解决不好，就把你的RP也吸光。

 

读入/Input：

       输入文件中仅一行为一个整数n。

 

输出/Output：

       输出文件中仅一行为一个数，表示穿过的格点数。

 

题解/solution：

       通过简单观察可以发现，每次画出向量（n，i）经过的格点个数为gcd(i，n)，那么答案就等于。
       直接求解的时间复杂度是O(n)的。不过n is so big，会嘣。

       那么，其中d为n的约数。fai(n)表示1～n中与n互质的数的个数。通过这样的变形，我们就可以得到时间复杂度为O(C*sqrt(n))的算法，C为n的约数个数。

 

代码/Code：

#include <stdio.h>  
#include <iostream>  
#include <algorithm>  
#include <sstream>  
#include <stdlib.h>  
#include <string.h>  
#include <limits.h>  
#include <string>  
#include <time.h>  
#include <math.h>  
#include <queue>  
#include <stack>  
#include <map>  
using namespace std;  

long long gcd(long long o,long long p)
{
    if (o % p==0) return p;
    return gcd(p,o%p);
}

long long fai(long long o)
{
    long long k=o;
    long long i=2;
    while (o>1)
    {
          if (o % i==0)
          {
               k-=k/i;
               while (o % i==0)
               {
                     o=o/i;
               }
          }
          i+=1;
    }
    return k;
}

int main()
{
//    freopen("beats.in","r",stdin);
//    freopen("beats.out","w",stdout);
    long long n;
    cin>>n;
    long long ans=0;
    for (int i=1;i<=trunc(sqrt(n));i++)
    {
        if (n % i==0) 
        {
              long long k=i;
              ans+=k*fai(n/k);
              if (k!=n/k)
              {
                    k=n/i;
                    ans+=k*fai(n/k);
              }
        }
    }
    cout<<ans+1<<endl;
    return 0;
}