【 欧拉函数 】GCD

• Step1 Problem

原题 给一个数n，输出sigma（gcd（i，j））1<=i<=j,i<=j<=n

• Step2 Ideas:

假设a、b(a<b)互质，那么gcd(a,b)=1，这样当i循环到a、j循环到b时就会向结果中+1，而i循环到2*a、j循环到2*b时就会向结果中+2（gcd(2*a,2*b)=2）...循环到k*a和k*b时就会向结果中+k。这样实际上引起结果变化的根源就在于各对互质的数，当i、j循环到他们自身或者自身的倍数时就会引起结果的改变，那么我们不妨先将每对互质的数对结果的贡献值算出来，最后将各对互质的数对结果的贡献累加起来就可以了。

    假设和b互质的数有n个，也就是n对(?,b)（?和b互质），那么在i、j循环到?、b时结果会增加n，循环到(2*?,2*b)时结果就会增加2*n...当i、j循环到k*?、k*b时结果就会增加k*n。那么我们不妨用a[i]记录各种k、b在满足k*b=i时会增加多少结果，也就是说a[i]记录的是小于i的每个数与i最大公约数之和，那么最后我们要输出的就是a[2]+a[3]+...+a[N]。

    至于找和b互质的数，就是计算b的欧拉函数的值，然后暴力循环k，并修改对应的a[k*b]即可，整体的复杂度是O(N*logN)的。

    欧拉公式的延伸：小于n 与n互质的数的和 是euler(n)*n/2

思路来源

• Step3 Code:

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<bitset>
#include<cassert>
#include<cctype>
#include<math.h>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<iomanip>
#include<list>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<vector>
#define lt k<<1
#define rt k<<1|1
#define lowbit(x) x&(-x)
#define lson l,mid,lt
#define rson mid+1,r,rt
using namespace std;
typedef long long  ll;
typedef long double ld;
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
//#define int ll
const double pi = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const double C = 0.57721566490153286060651209;
const ll mod = 3e7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int maxn = 4e6 + 5;
int phi[maxn];
ll a[maxn];

void prep() {
    mem(a, 0);
    for(int i = 1; i <= 4e6; i++) phi[i] = i;
    for(int i = 2; i <= 4e6; i++) {
        if(phi[i] == i) {
            for(int j = i; j <= 4e6; j += i) {
                phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
            }
        }
        for(int j = 1; j * i <= 4e6; j++) a[j * i] += j * phi[i];
    }
    for(int i = 1; i <= 4e6; i++) a[i] += a[i - 1];
}

int main() {
    prep();
    int n;
    while(cin >> n && n) {
        cout << a[n] << endl;
    }
    return 0;
}