#1287 : 数论一·Miller-Rabin质数测试

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描述

小Hi和小Ho最近突然对密码学产生了兴趣，其中有个叫RSA的公钥密码算法。RSA算法的计算过程中，需要找一些很大的质数。

小Ho：要如何来找出足够大的质数呢？

小Hi：我倒是有一个想法，我们可以先随机一个特别大的初始奇数，然后检查它是不是质数，如果不是就找比它大2的数，一直重复，直到找到一个质数为止。

小Ho：这样好像可行，那我就这么办吧。

过了一会儿，小Ho拿来了一张写满数字的纸条。

小Ho：我用程序随机生成了一些初始数字，但是要求解它们是不是质数太花时间了。

小Hi：你是怎么做的啊？

说着小Hi接过了小Ho的纸条。

小Ho：比如说我要检测数字n是不是质数吧，我就从2开始枚举，一直到sqrt(n)，看能否被n整除。

小Hi：那就对了。你看纸条上很多数字都是在15、16位左右，就算开方之后，也有7、8位的数字。对于这样大一个数字的循环，显然会很花费时间。

小Ho：那有什么更快速的方法么？

小Hi：当然有了，有一种叫做Miller-Rabin质数测试的算法，可以很快的判定一个大数是否是质数。

提示：Miller-Rabin质数测试

输入

第1行：1个正整数t，表示数字的个数，10≤t≤50

第2..t+1行：每行1个正整数，第i+1行表示正整数a[i]，2≤a[i]≤10^18

输出

第1..t行：每行1个字符串，若a[i]为质数，第i行输出"Yes"，否则输出"No"

思路{

　　首先，要晓得一个简单的费马小定理和二次探测定理：

　　1.费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为： 假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只　　有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

　　2.如果p是素数，x是小于p的正整数，且，那么要么x=1，要么x=p-1。

　　这两条定理都是显然的，这里不予更多证明。

　　所以可以利用费马小定理和二次探测定理反过来判定一个数是否为素数求解。

　　而测试可能有漏洞，需探测多次！我的写丑了，次数过大会TLE；

}

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
#define MOD n
#define LL long long
#define UP 5
using namespace std;
int m;
LL  n;
LL qsc(LL a,LL b,LL mod){
  LL sum = 0;
  while(b){
    if(b&1)sum=(sum+a)%mod;
    a=(a+a)%mod;
    b>>=1;
  }return sum%mod;
}
LL pow(LL a,LL b,LL mod){
  LL res = 1;
  while(b){
    if(b&1)res=qsc(res,a,mod);
    a=qsc(a,a,mod);b>>=1;
  }return res%mod;
}
bool MR(){
  if(n==2)return true;
  if( (!(n&1)) || n<2 )return false;
  LL u=n-1,a,x,y;
  while(!(u&1))u>>=1;
  for(int i=0;i<1;++i){
    a=rand()%(n-2)+2;
    x=pow(a,u,n);int tmp=u;
    while(u<n){
      y=pow(x,2,n);
      if(y==1&&x!=1&&x!=n-1)return false;
      x=y;u*=2;
    }u=tmp;
    if(x!=1)return false;
  }return true;
}
int main(){
  srand(time(NULL));
  scanf("%d",&m);
  for(int i=1;i<=m;++i){
    scanf("%lld",&n);
    if(MR())printf("Yes
");
    else printf("No
");
  }return 0;
}