fail树

前置技能：AC自动机

假设我们有了一个AC自动机，然后在上面进行字符串匹配。

上面是一个有四个字符串的AC自动机（abcde、aacdf、cdf、cde），虚线是fail指针，实线是转移。

这是上一次讲AC自动机的时候的匹配代码：

int match(char* s)
{
    int cur=rot,ans=0;
    for(int i=0;s[i];i++)
    {
        int c=s[i]-'a'; cur=ch[cur][c];
        for(int f=cur;f!=rot;f=fail[f])
        ans+=cnt[f], cnt[f]=0;
    }
    return ans;
}

出题人嘿嘿一笑，给了你一个“aaaaaaaaaaaaaaaaaaa”。这样的字符串fail链长度为O(n)的，这就很尴尬了。

我们发现，如果我们把每个x与fail[x]连边，好像形成了一个树结构（fail[x]是x的父节点）。

我们就是要查询一个点到根路径上的cnt之和！我们只要dfs一下预处理出来就行了。

我们来分析一下这个树结构是什么东西。

首先，这棵树是在一个trie的基础上产生的，所以这棵树上的每个点都是一个字符串的前缀，而且每个字符串的每个前缀在这棵树上都对应着一个点。

其次，由于fail指针，每个点父节点的字符串都是这个点字符串的后缀，并且树上没有更长的它的后缀。

例1 bzoj3172 单词

给出n个字符串，询问每个字符串在所有字符串中的出现次数之和。

在建ac自动机的时候，我们把经过的那条链的cnt值全部+1，那么我们就是要查询子树和。

为什么？例如有一个串abcde，匹配了123abcde123，那么AC自动机上123abcde就会在abcde的子树中。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <time.h>
#include <stdlib.h>
#include <string>
#include <bitset>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <sstream>
#include <stack>
#include <iomanip>
using namespace std;
#define pb push_back
#define mp make_pair
typedef pair<int,int> pii;
typedef long long ll;
typedef double ld;
typedef vector<int> vi;
#define fi first
#define se second
#define fe first
#define FO(x) {freopen(#x".in","r",stdin);freopen(#x".out","w",stdout);}
#define Edg int M=0,fst[SZ],vb[SZ],nxt[SZ];void ad_de(int a,int b){++M;nxt[M]=fst[a];fst[a]=M;vb[M]=b;}void adde(int a,int b){ad_de(a,b);ad_de(b,a);}
#define Edgc int M=0,fst[SZ],vb[SZ],nxt[SZ],vc[SZ];void ad_de(int a,int b,int c){++M;nxt[M]=fst[a];fst[a]=M;vb[M]=b;vc[M]=c;}void adde(int a,int b,int c){ad_de(a,b,c);ad_de(b,a,c);}
#define es(x,e) (int e=fst[x];e;e=nxt[e])
#define esb(x,e,b) (int e=fst[x],b=vb[e];e;e=nxt[e],b=vb[e])
#define VIZ {printf("digraph G{
"); for(int i=1;i<=n;i++) for es(i,e) printf("%d->%d;
",i,vb[e]); puts("}");}
#define VIZ2 {printf("graph G{
"); for(int i=1;i<=n;i++) for es(i,e) if(vb[e]>=i)printf("%d--%d;
",i,vb[e]); puts("}");}
using namespace std;
#define SZ 1000099
int rot=1,ch[SZ][27],fail[SZ],e=1;
ll cnt[SZ];
int M=0,fst[SZ],vb[SZ+SZ],nxt[SZ+SZ];
void ad_de(int a,int b){++M;nxt[M]=fst[a];fst[a]=M;vb[M]=b;}
void adde(int a,int b){ad_de(a,b);ad_de(b,a);}
int insert(char* s)
{
    int cur=rot;
    for(int i=0;s[i];i++)
    {
        int c=s[i]-'a';
        if(!ch[cur][c]) ch[cur][c]=++e;
        cur=ch[cur][c]; ++cnt[cur];
    }
    return cur;
}
int qs[SZ],h=0,t=0;
void bfail()
{
    h=t=0; fail[rot]=rot;
    for(int i=0;i<26;i++)
    {
        if(!ch[rot][i]) 
        {
            ch[rot][i]=rot; continue;
        }
        fail[ch[rot][i]]=rot;
        qs[t++]=ch[rot][i];
    }
    while(h!=t)
    {
        int cur=qs[h++];
        for(int c=0;c<26;c++)
        {
            if(!ch[cur][c]) ch[cur][c]=ch[fail[cur]][c];
            else
            {
                fail[ch[cur][c]]=ch[fail[cur]][c];
                qs[t++]=ch[cur][c];
            }
        }
    }
}
int n,T,orz[SZ];
char str[SZ];
void dfs(int x,int f=0)
{
    for esb(x,e,b)
    {
        if(b==f) continue;
        dfs(b,x); cnt[x]+=cnt[b];
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%s",str);
        orz[i]=insert(str);
    }
    bfail();
    for(int i=2;i<=e;i++)
        adde(i,fail[i]);
    dfs(1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%lld
",cnt[orz[i]]);
}

例2 bzoj2434 阿狸的打字机

有一个打字机，上面有一个可以容纳字符串的凹槽。

打字机上有26个英文字母和'B'、'P'。输入字母，打字机的一个凹槽中会加入这个字母。按下'B'，打字机凹槽中会删掉最后一个字母。按下'P'，打字机会在纸上打印出凹槽中现有的所有字母并换行。按一下印有'B'的按键，打字机凹槽中最后一个字母会消失。

有m次询问，每次询问第x个打印的字符串在第y个打印的字符串中出现了多少次。

我们可以发现B就相当于回到trie上的父节点，P就相当于记录一下这个节点编号。

我们建出AC自动机和fail树。“第x个打印的字符串在第y个打印的字符串中出现了多少次”，如果树中只有第y个字符串那就是要统计x字符串这个点的子树和。

那么我们可以重新进行一次建树一样的操作，等到当前字符串为“第y个字符串”时再处理询问。我们只要在fail树上用dfs序+树状数组维护就行了。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <time.h>
#include <stdlib.h>
#include <string>
#include <bitset>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <sstream>
#include <stack>
#include <iomanip>
using namespace std;
#define pb push_back
#define mp make_pair
typedef pair<int,int> pii;
typedef long long ll;
typedef double ld;
typedef vector<int> vi;
#define fi first
#define se second
#define fe first
#define FO(x) {freopen(#x".in","r",stdin);freopen(#x".out","w",stdout);}
#define Edg int M=0,fst[SZ],vb[SZ],nxt[SZ];void ad_de(int a,int b){++M;nxt[M]=fst[a];fst[a]=M;vb[M]=b;}void adde(int a,int b){ad_de(a,b);ad_de(b,a);}
#define Edgc int M=0,fst[SZ],vb[SZ],nxt[SZ],vc[SZ];void ad_de(int a,int b,int c){++M;nxt[M]=fst[a];fst[a]=M;vb[M]=b;vc[M]=c;}void adde(int a,int b,int c){ad_de(a,b,c);ad_de(b,a,c);}
#define es(x,e) (int e=fst[x];e;e=nxt[e])
#define esb(x,e,b) (int e=fst[x],b=vb[e];e;e=nxt[e],b=vb[e])
#define VIZ {printf("digraph G{
"); for(int i=1;i<=n;i++) for es(i,e) printf("%d->%d;
",i,vb[e]); puts("}");}
#define VIZ2 {printf("graph G{
"); for(int i=1;i<=n;i++) for es(i,e) if(vb[e]>=i)printf("%d--%d;
",i,vb[e]); puts("}");}
using namespace std;
#define SZ 233333
int rot=1,ch[SZ][27],fail[SZ],fa[SZ],e=1;
int M=0,fst[SZ],vb[SZ+SZ],nxt[SZ+SZ];
void ad_de(int a,int b){++M;nxt[M]=fst[a];fst[a]=M;vb[M]=b;}
void adde(int a,int b){ad_de(a,b);ad_de(b,a);}
char str[SZ];
int al(int& s) {if(!s) s=++e; return s;}
int n,rp[SZ];
void pre(char* s)
{
    int cur=rot;
    for(int i=0;s[i];i++)
    {
        if(s[i]=='B') cur=fa[cur];
        else if(s[i]=='P') rp[++n]=cur;
        else
        {
            char c=s[i]-'a';
            int nx=al(ch[cur][c]);
            fa[nx]=cur; cur=nx;
        }
    }
}
int qs[SZ],h=0,t=0;
void bfail()
{
    h=t=0; fail[rot]=rot;
    for(int i=0;i<26;i++)
    {
        if(!ch[rot][i]) 
        {
            ch[rot][i]=rot; continue;
        }
        fail[ch[rot][i]]=rot;
        qs[t++]=ch[rot][i];
    }
    while(h!=t)
    {
        int cur=qs[h++];
        for(int c=0;c<26;c++)
        {
            if(!ch[cur][c]) ch[cur][c]=ch[fail[cur]][c];
            else
            {
                fail[ch[cur][c]]=ch[fail[cur]][c];
                qs[t++]=ch[cur][c];
            }
        }
    }
    for(int i=2;i<=e;i++) adde(i,fail[i]);
}
int dfn[SZ],D=0,ls[SZ];
void dfs(int x,int f=0)
{
    dfn[x]=++D;
    for esb(x,e,b)
    {
        if(b==f) continue;
        dfs(b,x);
    }
    ls[x]=D;
}
int ss[SZ];
int sum(int x)
{
    int ans=0;
    for(;x>=1;x-=x&-x) ans+=ss[x];
    return ans;
}
void edt(int x,int y)
{
    for(;x<=D;x+=x&-x) ss[x]+=y;
}
int m,qa[SZ],qb[SZ],nq[SZ],fq[SZ],anss[SZ];
int main()
{
    scanf("%s",str); pre(str); bfail();
    scanf("%d",&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",qa+i,qb+i);
        nq[i]=fq[qb[i]]; fq[qb[i]]=i;
    }
    dfs(rot);
    int cur=rot,ci=0;
    for(int i=0;str[i];i++)
    {
        if(str[i]=='B') edt(dfn[cur],-1), cur=fa[cur];
        else if(str[i]=='P')
        {
            ++ci;
            for(int q=fq[ci];q;q=nq[q])
                anss[q]=sum(ls[rp[qa[q]]])-sum(dfn[rp[qa[q]]]-1);
        }
        else
        {
            char c=str[i]-'a';
            int nx=ch[cur][c];
            fa[nx]=cur; cur=nx;
            edt(dfn[cur],1);
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++) printf("%d
",anss[i]);
}

例3 bzoj3881 Divljak

Alice有n个字符串s1...sn，Bob有一个字符串集合，一开始集合是空的。

若干个操作，每个操作是往集合里添加一个字符串或者给定x，查询集合中有多少个字符串包含sx。

注意这里要求的是有多少个包含，而不是出现了几次。

例如ababab和ab，如果算子树和的话就会被多算一次。

我们考虑上一题我们实际上干的事情是对于每个前缀对应的点，把根到这个点的路径全部+1。

那为了不重复统计，我们只要保证没有点被多次+1就行了。

上一题我们转化为了子树和，那么这一题转化为子树和只要在每个重复的lca处-1就行了，具体实现就类似虚树那样用一个栈来维护。

好像把虚树的板子抄下来就过了

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <time.h>
#include <stdlib.h>
#include <string>
#include <bitset>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <sstream>
#include <stack>
#include <iomanip>
using namespace std;
#define pb push_back
#define mp make_pair
typedef pair<int,int> pii;
typedef long long ll;
typedef double ld;
typedef vector<int> vi;
#define fi first
#define se second
#define fe first
#define FO(x) {freopen(#x".in","r",stdin);freopen(#x".out","w",stdout);}
#define Edg int M=0,fst[SZ],vb[SZ],nxt[SZ];void ad_de(int a,int b){++M;nxt[M]=fst[a];fst[a]=M;vb[M]=b;}void adde(int a,int b){ad_de(a,b);ad_de(b,a);}
#define Edgc int M=0,fst[SZ],vb[SZ],nxt[SZ],vc[SZ];void ad_de(int a,int b,int c){++M;nxt[M]=fst[a];fst[a]=M;vb[M]=b;vc[M]=c;}void adde(int a,int b,int c){ad_de(a,b,c);ad_de(b,a,c);}
#define es(x,e) (int e=fst[x];e;e=nxt[e])
#define esb(x,e,b) (int e=fst[x],b=vb[e];e;e=nxt[e],b=vb[e])
#define VIZ {printf("digraph G{
"); for(int i=1;i<=n;i++) for es(i,e) printf("%d->%d;
",i,vb[e]); puts("}");}
#define VIZ2 {printf("graph G{
"); for(int i=1;i<=n;i++) for es(i,e) if(vb[e]>=i)printf("%d--%d;
",i,vb[e]); puts("}");}
using namespace std;
#define SZ 2000099
int rot=1,ch[SZ][27],fail[SZ],e=1;
int M=0,fst[SZ],vb[SZ+SZ],nxt[SZ+SZ];
void ad_de(int a,int b){++M;nxt[M]=fst[a];fst[a]=M;vb[M]=b;}
void adde(int a,int b){ad_de(a,b);ad_de(b,a);}
int insert(char* s)
{
    int cur=rot;
    for(int i=0;s[i];i++)
    {
        int c=s[i]-'a';
        if(!ch[cur][c]) ch[cur][c]=++e;
        cur=ch[cur][c];
    }
    return cur;
}
int qs[SZ],h=0,t=0;
void bfail()
{
    h=t=0; fail[rot]=rot;
    for(int i=0;i<26;i++)
    {
        if(!ch[rot][i]) 
        {
            ch[rot][i]=rot; continue;
        }
        fail[ch[rot][i]]=rot;
        qs[t++]=ch[rot][i];
    }
    while(h!=t)
    {
        int cur=qs[h++];
        for(int c=0;c<26;c++)
        {
            if(!ch[cur][c]) ch[cur][c]=ch[fail[cur]][c];
            else
            {
                fail[ch[cur][c]]=ch[fail[cur]][c];
                qs[t++]=ch[cur][c];
            }
        }
    }
}
#define S 22
int n,T,up[SZ][S],dep[SZ],orz[SZ];
int dfn[SZ],ls[SZ],D=0;
char str[SZ];
void dfs(int x,int f=0)
{
    dfn[x]=++D; up[x][0]=f;
    for(int i=1;i<=S-1;i++)
        up[x][i]=up[up[x][i-1]][i-1];
    for esb(x,e,b)
    {
        if(b==f) continue;
        dep[b]=dep[x]+1;
        dfs(b,x);
    }
    ls[x]=D;
}
int jump(int x,int d)
{
    for(int i=S-1;i>=0;i--)
    {
        if(up[x][i]&&dep[up[x][i]]>=d)
            x=up[x][i];
    }
    return x;
}
int lca(int a,int b)
{
    if(dep[a]>dep[b])swap(a,b);
    //dep[a]<=dep[b]
    b=jump(b,dep[a]);
    if(a==b) return a;
    for(int i=S-1;i>=0;i--)
    {
        if(up[a][i]==up[b][i]) continue;
        a=up[a][i]; b=up[b][i];
    }
    return up[a][0];
}
int bs[SZ];
int sum(int x)
{
    int ans=0;
    for(;x>=1;x-=x&-x) ans+=bs[x];
    return ans;
}
int sum(int l,int r)
{return sum(r)-sum(l-1);}
void edt(int x,int y)
{
    for(;x<=D;x+=x&-x) bs[x]+=y;
}
int ss[SZ],sn=0,vfa[SZ];
bool cmpdfn(int a,int b)
{
    if(a!=b) return dfn[a]<dfn[b];
    return a<b;
}
int st[SZ],stn=0;
int vs[SZ],vn=0;
void inss(char* s)
{
    int l=strlen(s),cur=1;
    sn=stn=vn=0; ss[++sn]=1;
    for(int i=0;i<l;i++)
    {
        cur=ch[cur][s[i]-'a'];
        ss[++sn]=cur;
    }
    sort(ss+1,ss+1+sn,cmpdfn);
    sn=unique(ss+1,ss+1+sn)-ss-1;
    for(int i=1;i<=sn;i++) vs[++vn]=ss[i];
    for(int i=1;i<=sn;i++)
    {
        int x=ss[i];
        if(!stn) {st[++stn]=x; vfa[x]=0; continue;}
        int lc=lca(x,st[stn]);
        while(stn&&dep[st[stn]]>dep[lc])
        {
            if(dep[st[stn-1]]<=dep[lc])
                vfa[st[stn]]=lc;
            --stn;
        }
        if(st[stn]!=lc)
        {
            vs[++vn]=lc;
            vfa[lc]=st[stn];
            st[++stn]=lc;
        }
        vfa[x]=lc; st[++stn]=x;
    }
    for(int i=1;i<=vn;i++)
    {
        int v=vs[i];
        if(!vfa[v]) continue;
        edt(dfn[v],1);
        edt(dfn[vfa[v]],-1);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%s",str);
        orz[i]=insert(str);
    }
    bfail();
    for(int i=2;i<=e;i++) adde(i,fail[i]);
    dfs(1);
    int q; scanf("%d",&q);
    while(q--)
    {
        int g,x;
        scanf("%d",&g);
        if(g==1)
        scanf("%s",str), inss(str);
        else
        scanf("%d",&x),
        printf("%d
",sum(dfn[orz[x]],ls[orz[x]]));
    }
}