AcWing 91. 最短Hamilton路径(状压DP)

给定一张 n 个点的带权无向图，点从 0∼n−1 标号，求起点 0 到终点 n−1 的最短 Hamilton 路径。

Hamilton 路径的定义是从 0 到 n−1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入格式
第一行输入整数 n。

接下来 n 行每行 n 个整数，其中第 i 行第 j 个整数表示点 i 到 j 的距离（记为 a[i,j]）。

对于任意的 x,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]≥a[x,z]。

输出格式
输出一个整数，表示最短 Hamilton 路径的长度。

数据范围
1≤n≤20
0≤a[i,j]≤107
输入样例：
5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0
输出样例：
18

题解：

暴力时间复杂度O（n*n!）

状压DP的状态转移方程为

f[i][j]=min(f[i][j],f[i-(1<<j)][k]+a[k][j])

其中f[i][j],i表示已经走过的点的集合，j表示当前停留在j点。

枚举状态转移的中间点k。时间复杂度O(20*20^20)

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm> 
using namespace std;

const int N=20,M=1<<20;

int f[M][N];
int a[N][N];

int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
     for(int j=0;j<n;j++)
      cin>>a[i][j];
    memset(f,0x3f,sizeof f);
    f[1][0]=0;
    for(int i=0;i<1<<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            if(i>>j&1)
            for(int k=0;k<n;k++)
            {
                if(i-(1<<j)>>k&1)
                {
                    f[i][j]=min(f[i][j],f[i-(1<<j)][k]+a[k][j]);
                }
            }
        }
    }
    cout<<f[(1<<n)-1][n-1];
    return 0;
}