洛谷 P2054 [AHOI2005]洗牌

题目描述

为了表彰小联为Samuel星球的探险所做出的贡献，小联被邀请参加Samuel星球近距离载人探险活动。

由于Samuel星球相当遥远，科学家们要在飞船中度过相当长的一段时间，小联提议用扑克牌打发长途旅行中的无聊时间。玩了几局之后，大家觉得单纯玩扑克牌对于像他们这样的高智商人才来说太简单了。有人提出了扑克牌的一种新的玩法。

对于扑克牌的一次洗牌是这样定义的，将一叠N（N为偶数）张扑克牌平均分成上下两叠，取下面一叠的第一张作为新的一叠的第一张，然后取上面一叠的第一张作为新的一叠的第二张，再取下面一叠的第二张作为新的一叠的第三张……如此交替直到所有的牌取完。

如果对一叠6张的扑克牌1 2 3 4 5 6，进行一次洗牌的过程如下图所示：

从图中可以看出经过一次洗牌，序列1 2 3 4 5 6变为4 1 5 2 6 3。当然，再对得到的序列进行一次洗牌，又会变为2 4 6 1 3 5。

游戏是这样的，如果给定长度为N的一叠扑克牌，并且牌面大小从1开始连续增加到N（不考虑花色），对这样的一叠扑克牌，进行M次洗牌。最先说出经过洗牌后的扑克牌序列中第L张扑克牌的牌面大小是多少的科学家得胜。小联想赢取游戏的胜利，你能帮助他吗？

输入输出格式

输入格式：

 

输入文件中有三个用空格间隔的整数，分别表示N，M，L

（其中0＜N≤10^10 ，0 ≤M≤10^10，且N为偶数）。

 

输出格式：

 

单行输出指定的扑克牌的牌面大小。

 

输入输出样例

输入样例#1：

6 2 3

输出样例#1：

6

说明

0＜N≤10^10 ，0 ≤M≤10^10，且N为偶数

题解：扩展欧几里得+快速幂

发现经过m次洗牌，原来标号为i的牌在(i*2^m)%(n+1)的位置。

那么问题就是求 (i*2^m)≡l（mod n+1），用扩展欧几里得求。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define LL long long
using namespace std;

LL n,m,l,x,y;

LL ksm(LL x,LL m){
    LL ret=1;
    while(m){
        if(m&1)ret=ret*x%n;
        x=x*x%n;
        m>>=1;
    }
    return ret;
}

LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
    if(b==0){
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int t,r=exgcd(b,a%b,x,y);
    t=x;x=y;y=t-a/b*y;
    return r;
}

int main(){
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&l);n++;LL k=ksm(2,m);
    LL gcd=exgcd(k,n,x,y);
    x=(x%n+n)%n,gcd=l/gcd*x;
    cout<<gcd%n<<endl;
    return 0;
}