定义状态
F[i][j]表示以a串的前i个整数与b串的前j个整数且以b[j]为结尾构成的LCIS的长度。
状态转移方程：
①F[i][j] = F[i-1][j] (a[i] != b[j])
②F[i][j] = max(F[i-1][k]+1) (1 <= k <= j-1 && b[j] > b[k])
现在我们来说为什么会是这样的状态转移方程呢？
对于①，因为F[i][j]是以b[j]为结尾的LCIS，如果F[i][j]>0那么就说明a[1]..a[i]中必然有一个整数a[k]等于b[j],因为a[k]!=a[i]，那么a[i]对F[i][j]没有贡献，于是我们不考虑它照样能得出F[i][j]的最优值。所以在a[i]!=b[j]的情况下必然有F[i][j]=F[i-1][j]。
对于②，前提是a[i] == b[j],我们需要去找一个最长的且能让b[j]接在其末尾的LCIS。之前最长的LCIS在哪呢？首先我们要去找的F数组的第一维必然是i-1。因为i已经拿去和b[j]配对去了，不能用了。并且也不能是i-2，因为i-1必然比i-2更优。第二维呢？那就需要枚举b[1]...b[j-1]了，因为你不知道这里面哪个最长且哪个小于b[j]。这里还有一个问题，可不可能不配对呢？也就是在a[i]==b[j]的情况下，需不需要考虑F[i][j]=F[i-1][j]的决策呢？答案是不需要。因为如果b[j]不和a[i]配对，那就是和之前的a[1]...a[j-1]配对（假设F[i-1][j]>0，等于0不考虑），这样必然没有和a[i]配对优越。
朴素的LCIS算法实现
以Hdu 1423 Greatest Common Increasing Subsequence为例。
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <iostream> 4 #include <algorithm> 5 6 using namespace std; 7 const int N =5e2 + 5; 8 int a[N],b[N]; 9 int T,n,m; 10 int f[N][N]; 11 int main() 12 { 13 // freopen("../in.txt","r",stdin); 14 cin >> T; 15 while (T--) 16 { 17 memset(f,0, sizeof(f)); 18 scanf("%d", &n); 19 for (int i=1;i<=n;i++) 20 scanf("%d", &a[i]); 21 scanf("%d", &m); 22 for (int i=1;i<=m;i++) 23 scanf("%d", &b[i]); 24 int i,j,k; 25 for(i = 1; i <= n; i++) 26 { 27 for(j = 1; j <= m; j++) 28 { 29 f[i][j] = f[i-1][j]; // if(a[i] != b[j]) 30 if(a[i] == b[j]) 31 { 32 int MAX = 0; 33 for(k = 1; k <= j-1; k++) if(b[j] > b[k]) //枚举最大的f[i-1][k] 34 { 35 MAX = max(MAX, f[i-1][k]); 36 } 37 f[i][j] = MAX+1; 38 } 39 } 40 } 41 int ans = 0; 42 for(i = 1; i <= m; i++) 43 ans = max(ans, f[n][i]); 44 if(T != 0) 45 printf("%d ", ans); 46 else 47 printf("%d ", ans); 48 49 } 50 return 0; 51 }
以上的代码的时间复杂度是O(n^3)
那我们怎么去优化呢？
通过思考发现，第三层循环找最大值是否可以优化呢？我们能否直接把枚举最大的f[i-1][k]值直接算出来呢？假设存在这么一个序列a[i] == b[j],我们继续看状态转移方程②，会发现b[j] > b[k]，即当a[i] == b[j]时，可以推出a[i] > b[k]，那么有了这个表达式我们可以做什么呢？可以发现，我们可以维护一个MAX值来储存最大的f[i-1][k]值。即只要有a[i] > a[j]的地方，那么我们就可以更新最大值，所以，当a[i] == b[j]的时候，f[i][j] = MAX+1，即可。
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <iostream> 4 #include <algorithm> 5 6 using namespace std; 7 const int N =5e2 + 5; 8 int a[N],b[N]; 9 int T,n,m; 10 int f[N][N]; 11 int main() 12 { 13 // freopen("../in.txt","r",stdin); 14 cin >> T; 15 while (T--) 16 { 17 memset(f,0, sizeof(f)); 18 scanf("%d", &n); 19 for (int i=1;i<=n;i++) 20 scanf("%d", &a[i]); 21 scanf("%d", &m); 22 for (int i=1;i<=m;i++) 23 scanf("%d", &b[i]); 24 for(int i = 1; i <= n; i++) 25 { 26 int MAX = 0; //维护最大值 27 for(int j = 1; j <= m; j++) 28 { 29 f[i][j] = f[i-1][j]; //a[i] != b[j] 30 if(a[i] > b[j]) MAX = max(MAX, f[i-1][j]); 31 if(a[i] == b[j]) f[i][j] = MAX+1; 32 } 33 } 34 int ans = 0; 35 for(int i = 1; i <= m; i++) 36 ans = max(ans, f[n][i]); 37 if(T != 0) 38 printf("%d ", ans); 39 else 40 printf("%d ", ans); 41 42 } 43 return 0; 44 }
可以发现，其实上面的代码有些地方与0/1背包很相似，即每次用到的只是上一层循环用到的值，即f[i-1][j]，那么我们可以像优化0/1背包问题利用滚动数组来优化空间。
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <iostream> 4 #include <algorithm> 5 6 using namespace std; 7 const int N =5e2 + 5; 8 int a[N],b[N]; 9 int T,n,m; 10 int f[N]; 11 int main() 12 { 13 // freopen("../in.txt","r",stdin); 14 cin >> T; 15 while (T--) 16 { 17 memset(f,0, sizeof(f)); 18 scanf("%d", &n); 19 for (int i=1;i<=n;i++) 20 scanf("%d", &a[i]); 21 scanf("%d", &m); 22 for (int i=1;i<=m;i++) 23 scanf("%d", &b[i]); 24 for(int i = 1; i <= n; i++) 25 { 26 int MAX = 0; 27 for(int j = 1; j <= m; j++) 28 { 29 if(a[i] > b[j]) MAX = max(MAX, f[j]); 30 if(a[i] == b[j]) f[j] = MAX+1; 31 } 32 } 33 int ans = 0; 34 for(int i = 1; i <= m; i++) 35 ans = max(ans, f[i]); 36 if(T != 0) 37 printf("%d ", ans); 38 else 39 printf("%d ", ans); 40 41 } 42 return 0; 43 }
如果是求最长公共下降子序列呢？很明显嘛，把状态定义改动一下，即f[i][j]表示以a串的前i个整数与b串的前j个整数且以b[j]为结尾构成的LCDS的长度，具体实现的时候只要把a[i] > b[j]改为a[i] < b[j]就可以啦。