【学习笔记】K 短路问题详解

(k) 短路问题简介

所谓“(k) 短路”问题，即给定一张 (n) 个点，(m) 条边的有向图，给定起点 (s) 和终点 (t)，求出所有 (s o t) 的简单路径中第 (k) 短的。而且一般来说 (n, m, k) 的范围在 (10^5) 级别，于是爆搜或者 (k) 次最短路这样的算法我们不做讨论。

本文将介绍求解 (k) 短路问题的两种经典方法：(A^*) 算法 以及 可持久化可并堆做法。

(A^*) 算法

(A^*) 思想简述

很显然地，我们有一个暴力的 Bfs 做法：第 (k) 次搜到点 (t) 的就是所求。然而这样太慢了，我们考虑优化方案。

对于搜索中的一个状态 (x)，令 (g(x)) 为当前状态下该点到 (s) 的路径长。

朴素的 Bfs 就是直接暴力地拓展，但我们可以设计一种方案，使得 相对接近终点的状态优先拓展。

具体

A* 算法中，我们会引入一个函数 (f(x))，表示 (x) 的 估值，那么函数 (f) 也被称为 估价函数。函数 (f) 的计算有一个通式：

[f(x) = g(x) + h(x) ]

其中 (g(x)) 代表 状态 (x) 当前的代价，(h(x)) 表示 状态 (x) 到终点状态在最佳状态下的代价。一般而言，(h) 的计算方式由自己决定，但需要根据以下原则：

• 必须不小于真实代价，否则没有意义，即跑出来的答案会错误；
• 尽量向真实代价靠拢，这样使得算法尽可能的快。

在搜索时，我们优先拓展 (f(x)) 值最小的状态。一般会选用 堆（优先队列） 实现。

(A^*) 算法在本题的运用

所幸，(h(x)) 的定义在本题还算比较显然——到终点 (t) 的最短距离。而且可以发现 (h) 已经是最优的了。

于是算法就不难了：

• 用一个小根堆存储状态 ((x, g(x)))。堆顶元素为 (f) 最小的。
• (g) 函数的值不难预处理，只要在 反图 上以 (t) 为原点跑 Dijkstra 算法即可。
• 开始时，很显然有 (g(s) = 0)，那把 ((s, g(s))) 存入堆中。
• 每次取出堆顶元素 ((x, g(x)))。如果 (x=t) 那么表示找到一条。
• 向相邻点拓展并放入堆中。
• 如此往复知道找到 (k) 条即可。

代码实现

struct statu { // 定义状态
    int pos; double g, f;
    bool operator < (const statu& rhs) const {
        return f > rhs.f; // 为了方便比较将 f 值也记下来
    }
};

int aStar(int k) {
    priority_queue<statu> pq;
    pq.push(statu{1, 0, dist[s]}); // 初始状态
    while (!pq.empty()) {
        statu x = pq.top(); pq.pop(); // 抽出当前最优状态
        if (x.pos == t) // 到终点
            if (--k == 0) return x.g; // 如果这是第 k 条，返回
        for (auto e : G[x.pos])
            pq.push(statu{ // 拓展状态
                e.to, x.g + e.val,
                x.g + e.val + dist[e.to]
            });
    }
    return -1; // 没有第 k 条
}

复杂度

随机数据这个算法跑的很快，但如果图是一个 (n) 元环时，复杂度会达到 (O(nklog n)) 级别。

可持久化可并堆做法

最短路树

所谓最短路树，就是从根通过树边到每个点的路径长和原图上的最短路径长相同，那么这样的树就是最短路树。

最短路树可以通过求最短路的算法（Dijkstra/Spfa）求出。

这里我们选定终点 (t) 为根，在反图上求出最短路树 (T)。那么每个点通过树边都是到 (t) 点的路径最短路。

最短路树与一般路径之间的关联

对于一条 (s o t) 的路径 (p)，我们选取其中的 非树边，作为一个集合，记为 (side(p))。即 (side(p) = p setminus (p cap T))。

为方便说明，我们引入一些记号：

• (front(e), back(e))：表示边 (e) 的前端点（靠近起点）和后端点（靠近终点）。
• (len(e))：边或路径 (e) 的长度。
• (dist(x))：点 (x) 到终点 (t) 的最短距离。

(side(p)) 有如下性质：

1. 设一条边 (e) 的增长量 (delta(e) = dist(front(e)) + len(e) - dist(back(e)))，可以理解为把这条边换掉原来的 额外增加的长度 。那么路径 (p) 的长 (len(p) = dist(s) + sumlimits_{ein side(p)} delta(e))。
2. 我们将 (side(p)) 中的边按 路径的顺序 排列好，并选取其中相邻的两条边 (e_1, e_2)（(e_1) 在前，注意 (e_1, e_2) 在原图中不一定相邻）。那么 (u=back(e_1),v=front(e_2)) 两点要么是同一个点，要么 (v) 是 (u) 的祖先。原因比较显然：两边如果在图上相邻那么就是同一个点，反之就由树边向树根 (t) 的方向相连。
3. 对于一个确定的 (side(p)) 只有一个 (s o t) 的路径 (p) 与之对应。因为最短路树上两点只有一条只经过树边的路径，而 (side(p)) 其他连续的路径段也是确定的。

将问题转化

根据性质 1，可以发现答案就是 (dist(s) + sumlimits_{ein side(p)}delta(e)) 的第 (k) 小值。

那么我们只要不断构造出这 (k) 个 (side(p)) 即可。

如何构造 (side(p))

根据第二个性质，我们可以对一个现有的 (side(p)) 推出另一个新的 (side(q))：

(side(p)) 最尾端的边为 (e)，令 (u = front(e), v = back(e))。那么有两种构造策略：

• 用与 (x) 相连的一条不短于 (e) 的边 替换 掉 (e)。
• 在 (y) 后面新接上一条 最短路树上祖先方向出去的最小边 (e^prime)。

顺带一提，这两个方法分别对应性质 2 的两种情况。

于是我们实现了通过现有的一条 (s o t) 的路径得出另一条更长的路径。如果我们可以通过某种手段达到在可以承受的时间内完成一次构造，那么只要每次选取一个最小的 (side(p))，重复执行构造，直至选出第 (k) 个即可。这个 (side(p)) 的集合可以用小根堆维护。

快速构造 (side(p)) 需要我们在每个节点维护一个 与之相连的所有非树边和祖先出去的边的最小边；

很自然的想到堆，堆中存储路径的尾边对应的堆节点以及路径长度。

如果建出了每个节点的堆，那么上述的构造策略可以转化为（设当前堆节点为 (x)）：(x) 的左右儿子替换掉当前的堆节点，或者 (x) 对应边的尾端点对应堆的根。

那么我们实现了一次 (O(log k)) 的转移（维护 (side(p)) 的小根堆的大小为 (O(k))）。

关于堆

堆的话，可以通过最短路树从祖先向叶子的方向合并构造。

但很显然用一般的二叉堆是很难避免 MLE 的结果的。不过对于可并堆我们可以考虑一下这个问题：可并堆之所以有问题是因为 每次合并都需要保留前两个堆的信息。

于是要解决这个问题，就得让信息保留。而整个堆复制是不现实的，只能 共用一些节点。那么显而易见我们需要——

可持久化可并堆

一般我们用 可持久化左偏树 实现，这样时空复杂度都是线性对数级别的。

其实会左偏树的话这玩意也不难写。可以参考 OI-Wiki 可持久化可并堆 标签页学习。

小结

好像一切都明朗了。来归纳一下算法的步骤吧：

• 在反图上跑 Dijkstra；
• 构造可持久化左偏树：
• • 对于每个节点都扫一遍邻边（除树边），然后将其 (delta) 值与另一端点编号一并插入当前点的左偏树中；
  • 然后向树边祖先方向将堆合并到此。
• 构造前 (k) 个 (side(p))：
• • 取出堆顶；
  • 向左偏树节点儿子拓展；
  • 向对应边结束点的左偏树的根拓展。
  • 如此在堆中取出的第 (k) 个记为答案。

代码实现

P2483 【模板】k短路 / [SDOI2010]魔法猪学院 代码

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>

using namespace std;
const int N = 5e4 + 5;
const int M = 2e5 + 5;
const double inf = 1e16;
const double eps = 1e-8;

struct Graph {
    struct Edge {
        int to, nxt;
        double len;
    } e[M];
    int head[N], ecnt = 0;
    Graph() { memset(head, -1, sizeof(head)), ecnt = 0; }
    inline void insert(int u, int v, double w) {
        e[ecnt] = Edge{v, head[u], w}; head[u] = ecnt++;
    }
    inline int nxt(int i) { return e[i].nxt; }
    inline int to(int i) { return e[i].to; }
    inline double len(int i) { return e[i].len; }
} G, R;

int n, m;
double E;

int fa[N];
double dist[N];
bool book[N];

struct vtx {
    int pos; double dist;
    bool operator < (const vtx& rhs) const {
        return dist > rhs.dist;
    }
};
priority_queue<vtx> pq;

void Dijkstra() {
    fill(dist + 1, dist + 1 + n, inf);
    pq.push(vtx{n, dist[n] = 0.0});
    
    while (!pq.empty()) {
        int x = pq.top().pos; pq.pop();
        if (book[x]) continue;
        book[x] = true;
        for (int i = R.head[x]; ~i; i = R.nxt(i)) {
            int y = R.to(i); double l = R.len(i);
            if (dist[y] > dist[x] + l) {
                dist[y] = dist[x] + l;
                fa[y] = i;
                pq.push(vtx{y, dist[y]});
            }
        }
    }
}

namespace LefT {
    struct lef {
        int ch[2], dist;
        int end; double delta;
    } tr[N << 5];
    int total = 0;

    inline int create(double d, int e) {
        int x = ++total;
        tr[x] = lef{{0, 0}, 1, e, d};
        return x;
    }
    inline int copy(int x) {
        return tr[++total] = tr[x], total;
    }
    int merge(int x, int y) {
        if (!x || !y) return x | y;
        if (tr[x].delta > tr[y].delta) swap(x, y);
        int z = copy(x);
        tr[z].ch[1] = merge(tr[x].ch[1], y);
        if (tr[tr[z].ch[0]].dist < tr[tr[z].ch[1]].dist)
            swap(tr[z].ch[0], tr[z].ch[1]);
        tr[z].dist = tr[tr[z].ch[1]].dist + 1;
        return z;
    }
};
int root[N];

void initLefTr() {
    using namespace LefT;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        pq.push(vtx{i, dist[i]});
    tr[0].dist = -1;
    while (!pq.empty()) {
        int x = pq.top().pos; pq.pop();
        for (int i = G.head[x]; ~i; i = G.nxt(i)) if (fa[x] != i)
            root[x] = merge(root[x], create(G.len(i) + dist[G.to(i)] - dist[x], G.to(i)));
        root[x] = merge(root[x], root[G.to(fa[x])]);
    }
}

int calc() {
    using namespace LefT;
    int ret = 0;

    if (dist[1] > E) return 0;
    E -= dist[1], ++ret;

    if (!root[1]) return ret;
    pq.push(vtx{root[1], tr[root[1]].delta});
    while (!pq.empty()) {
        int x = pq.top().pos;
        double d = pq.top().dist;
        pq.pop();

        if (dist[1] + d > E) break;
        ++ret, E -= dist[1] + d;

        for (int* c = tr[x].ch, s = 2; s; --s, ++c) if (*c)
            pq.push(vtx{*c, d - tr[x].delta + tr[*c].delta});
        if (root[tr[x].end])
            pq.push(vtx{root[tr[x].end], d + tr[root[tr[x].end]].delta});
    }

    return ret;
}

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n >> m >> E;
    
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int u, v; double w;
        cin >> u >> v >> w;
        if (u == n) continue;
        G.insert(u, v, w);
        R.insert(v, u, w);
    }
    Dijkstra(), initLefTr();
    cout << calc() << endl;

    return 0;
}

复杂度

(O(nlog n+klog k)) 时间，(O(nlog n)) 空间。设 (n, m) 同阶。

总结

两个算法各有优缺点：

• A* 算法在大多数情况下表现优秀，但是可以被刻意构造的数据（(n) 元环）卡爆。不过它的编写难度小，因此可能是更适合考场上选择的算法。
• 可持久化可并堆的做法虽然编写比前者复杂的多，但是复杂度却是一定正确的，根本不会担心被卡的情况。

两个都建议读者掌握，以便在不同情况下有更多的选择。