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  • [Johnson法则]

    p1248

    加工生产调度

    求一个加工顺序,使得加工时间最短,就要让机器的空闲时间最短,A一旦开始加工就要不停地加工,但加工过程中存在A机器会等待B机器加工,B机器也要等待A机器加工。很明显A机器的第一个工件,B机器必须要等待,B机器的最后一个工件,A机器必须要等待。所以要让(a_i)小的在A先加工,让(b_i)大的在B先加工。令(m_i)表示(min(a_i,b_i))然后从小到大排序(m_i),令(ans[i])表示最终工件的加工顺序,接着从(1~n)循环,如果(m_i=a_i),让(head++,ans[head] = a_i)的位置,否则(tail--,ans[tail] = b_i)的位置。代码如下

    #include <cmath>
    #include <cstdio>
    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    using namespace std;
    const int maxn = 2005;
    int n,a[maxn],b[maxn];
    int head,tail,ans[maxn];
    int time_a,time_b;
    struct qwq{
    	int mini,pos;
    	bool operator < (const qwq &x)const
    	{
    		return mini < x.mini;
    	}
    }e[maxn];
    
    int main()
    {
    	scanf("%d",&n);
    	for(int i=1;i<=n;i++)
    		scanf("%d",&a[i]);
    	for(int i=1;i<=n;i++)
    		scanf("%d",&b[i]);
    	for(int i=1;i<=n;i++)
    	{
    		e[i].mini = min(a[i],b[i]);
    		e[i].pos = i;
    	}
    	sort(e+1,e+n+1);
    	tail = n + 1;
    	for(int i=1;i<=n;i++)
    	{
    		if(e[i].mini == a[e[i].pos])
    		{
    			head ++;
    			ans[head] = e[i].pos;
    		}
    		else
    		{
    			tail --;
    			ans[tail] = e[i].pos;
    		}
    	}
    	for(int i=1;i<=n;i++)
    	{
    		time_a += a[ans[i]];
    		if(time_b < time_a)
    			time_b = time_a;
    		time_b += b[ans[i]];
    	}
    	printf("%d
    ",time_b);
    	for(int i=1;i<=n;i++)
    		printf("%d ",ans[i]);
    	return 0;
    }
    

    算法证明

    (S={J_1,J_2,J_3,.........J_n}),为待加工工件的顺序,A正在加工,(t)时刻后B开始加工A加工完的,则在这样的条件下,加工完(S)中工件所需要的最短时间为(T(S,t) = min(a_i+T(S-{J_i},b_i+max(t-a_i,0)),其中(J_i∈S)
    得到(min(b_j,a_i))(leq)(min(a_j,b_i))(Johnson)不等式,所以在A机器上加工时间短的排在前面,在B机器上加工时间短的排在后面。

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