康托展开
What's this?
来自度娘的解释：
康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建哈希表时的空间压缩。 康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序，因此是可逆的。
概念应该不是很好理解,所以这里直接给出作用.
这里的解释与网络上的不同,但是做题的时候是对的,这里请大家不要喷 qwq
Function
康托展开的作用是求n个数的全排列中某一个序列在所有排列中的次序(该排列次序(亦称之为排名)以字典序从小到大排序)
栗子
不理解的话还是来看下栗子好了.
Q：求在(n=3)的全排列中(｛1,3,2｝)的排第几位.
A： 这很简单,我们可以写出(n=3)的全排列再去看排名
(｛1,2,3｝,｛1,3,2｝,｛2,1,3｝,｛2,3,1｝,｛3,1,2｝,｛3,2,1｝)
很容易看出(｛1,3,2｝)的排名为第二名.
不理解的话还是自己手跑大样例.如果你不嫌累的话
这样写是为了自己好写,好理解些.
注意：康托展开应该是从排名为(0)开始计数的。
深入
如果说,给我们的(n)很大怎么办?
这时候就用到了康托展开.
考虑到(n)的全排列会有(n!)种,很明显,我们需要用到阶乘.
这里可能会有些解释不清楚.请大家见谅。
我们对于某一个排列,其排名肯定会与后边的排列有关。
即(｛1,5,3,4,2｝)的排名会与(｛5,3,4,2｝)有关,而(｛5,3,4,2｝)又会与(｛3,4,2｝)相关......
所以这里会用到阶乘
这里给出公式:
定义：
- (X)代表当前排列的排名。
- (a_i)代表当前排列里从(i)位置向右比(i)位置的数小的数的个数.
栗子：在(n=5)的全排列中,计算(｛3,4,1,5,2｝)的康托展开值。
首位是(3),我们用眼睛观察发现后面比(3)小的数有两个.则(a_1=2)
第二位是(4),发现后面比(4)小的数有两个,注意这里(3)是没有贡献的,它在(4)的前面,则(a_2=2)
第三位是(1),后面没有比(1)小的数,则(a_3=0)
第四位是(5),同样,后面比(5)小的数只有(1)则(a_4=1)
第五位是(2),后面没有数了则(a_5=0)
因此我们可以算出
[X=2 imes (5-1)!+ 2 imes (5-2)!+0 imes(5-3)!+1 imes (5-4)!+0 imes (5-5)!=61 ]所以从零开始计数的话我们算出的(｛3,4,1,5,2｝)的排名为(61)
从一开始计数的话我们算出的排名则要(+1)为(62)
这里的话,与网上的有些不同,这里通过公式直接求出来的就是排名.不过这个排名和网络上的其他讲解不太相同。
这里还有度娘的讲解.不过和我的理解不太一样.
代码
int Contor(char s[],int n)
{
int ans=0;
for(R int i=0;i<n;i++)
{
int smaller=0;
for(R int j= i+1 ;j<n;j++)
{
if(s[i] > s[j])smaller++;
}
ans += smaller*fac[n-i-1];
}
return ans+1;
}
逆康托展开
What?
什么?这玩意还能逆推？
当然.我们既然知道了这种式子,就肯定能倒推出来原排列啊 emm.
由于康托展开是一个双射.我不知道是啥
所以我们可以逆推回来
栗子
在(n=5)的全排列中,给出(61)，我们可求(｛3,4,1,5,2｝)
这里给出的排名一般是从(0)开始计算的.
这里给出求解过程
用 (61÷4! = 2)余(13),说明(a_1=2),说明比第一位数小的数有(2)个,所以第一位填(3)。
用 (13÷3! = 2)余(1),说明(a_2=2),说明在第二位后面小于第二位的数有(2)个,所以第二位为(4)。
用 (1÷2! = 0)余(1),说明(a_3=0),说明在第三位后面没有小于第三位的数,所以第三位为(1)。
用 (1÷1! = 1)余(0),说明(a_4=1),说明在第二位之后小于第四位的数有(1)个,所以第四位为(5)。
最后一位就是剩下的(2)啦。
通过以上分析,所求排列为(｛3,4,1,5,2｝)。
式子的话,先除后模就好了
代码
void DeCantor(int x,int n)
{
memset(use,0,sizeof use);
x--;//这里从0开始计数,因此--.
int j;
for(R int i=1;i<=n;i++)
{
int t=x/fac[n-i] ;//求后面有几位比当前位小
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(!use[j])
{
if(!t)break;
t--;
}
}
printf("%d ",j);
vis[j]=1;
x%=fac[n-i];
}
}
应用的话,见(2018 Noip)提高组第四题