洛谷 P1824 进击的奶牛 【二分答案】（求最大的最小值）

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1824

题目描述

Farmer John建造了一个有N(2<=N<=100,000)个隔间的牛棚，这些隔间分布在一条直线上，坐标是x1,...,xN (0<=xi<=1,000,000,000)。

他的C(2<=C<=N)头牛不满于隔间的位置分布，它们为牛棚里其他的牛的存在而愤怒。为了防止牛之间的互相打斗，Farmer John想把这些牛安置在指定的隔间，所有牛中相邻两头的最近距离越大越好。那么，这个最大的最近距离是多少呢？

输入格式：

第1行：两个用空格隔开的数字N和C。

第2~N+1行：每行一个整数，表示每个隔间的坐标。

输出格式：

输出只有一行，即相邻两头牛最大的最近距离。

输入样例#1：

5 3
1 
2 
8 
4 
9 
 

输出样例#1： 

3

解题思路：

像这种求最大最小值，最小最大值得问题都是典型的二分答案题，二分答案的主要难点在于juge（）函数，此题下面给出了两个不同思路的juge函数。

要注意的是如何根据所枚举的答案来将隔间分隔，因为求的是最大的最近距离，这个距离要是每一次分隔距离中最短的。接下来分析，假设隔间的坐标没有规定在哪的话，那么什么时候最近距离最大呢？毫无疑问，是当所有的距离
相同的时候，最近距离最大。但是此题每个隔间的坐标有规定，使得不一定能使每一段的距离都能够相等，所以，此时求最近距离的最优思路就是：

   每一段区间距离都应该大于或等于m(但要尽可能的接近最近距离)，这样才能使最近距离最大
 所以一旦所枚举的隔间距离恰好大于最近距离的时候，就在该隔间放牛，毫无疑问，这样得到的最近距离才会尽可能的大

第一种juge()函数

bool juge(int m)//判断距离m是否可以 
{
    int s = 0, last = 1;//记录上一个 
    for (int i = 2; i <= n; i++)//依次枚举每个牛栏 
    {
        if (a[i] - a[last]<m)s++;//若此距离不满足当前答案，那么需要的牛栏数+1，即把当前牛放到下一个牛栏 
        else last = i;//否则就更新上一次的牛栏位置 ，即上一头牛放的位置 
        if (s>n - c) return false;//若需要牛栏数大于最大牛栏数，此答案不可行 
    }
    return true;
}

第二种juge()函数

bool juge(int m)              
{
    int ans = 1, last = 1;           //因为第一个牛一定要占据第一个隔间（这样能使本题的答案最优），所以ans初始化为1
    for (int i = 2; i <=n; i++)
    {
        if (a[i] - a[last] >= m)
        {
            ans++;           //如果比最近距离要大的话，那么该隔间就放牛   
            last = i;                                               
        }
    }
    if (ans >= c)return true;          
    return false;
}

本题代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[100010];
int l, r;
int n,c;

/*bool juge(int m)//判断距离m是否可以 
{
    int s = 0, last = 1;//记录上一个 
    for (int i = 2; i <= n; i++)//依次枚举每个牛栏 
    {
        if (a[i] - a[last]<m)s++;//若此距离不满足当前答案，那么需要的牛栏数+1，即把当前牛放到下一个牛栏 
        else last = i;//否则就更新上一次的牛栏位置 ，即上一头牛放的位置 
        if (s>n - c) return false;//若需要牛栏数大于最大牛栏数，此答案不可行 
    }
    return true;
}*/

bool juge(int m)              
{
    int ans = 1, last = 1;           //因为第一个牛一定要占据第一个隔间（这样能使本题的答案最优），所以ans初始化为1
    for (int i = 2; i <=n; i++)
    {
        if (a[i] - a[last] >= m)
        {
            ans++;           //如果比最近距离要大的话，那么该隔间就放牛   
            last = i;                                               
        }
    }
    if (ans >= c)return true;          //如果所选取的隔间数量>=c，则说明枚举的最近距离成立，但是不够大，所以return true,继续枚举更大的距离
    return false;
}

int main()
{
    cin >> n >> c;
    for (int i = 1; i <=n; i++)cin >> a[i];
    l = 1; r = a[n] - a[1];           //右边界为n个隔间的总长度，最近距离一定小于等于这个数值
    sort(a + 1, a + 1 + n);
    while (l <= r)
    {
        int mid = (l + r)/2;
        if (juge(mid))l = mid+1;       //如果当前枚举的最近距离符合，那么就让l=mid,看更大的距离是否也符合（因为要求最大的最近距离）
        else
            r = mid-1;
    }
    cout << r<< endl;    //由于最后l<=r的时候还会运行一次，会让l-1(如果答案正确的话)，所以应该输出的是r
    return 0;
}

2018-05-20