题意
定义一棵无根树 (T) 的价值为：(sum_{uin V(T)}{(d(u))^2})，其中 (V(T)) 是 (T) 的所有点组成的点集，(d(u)) 是点 (u) 的度。定义森林的价值为所有由它生成的树的价值之和。现在，让你求出由 (N) 个编号的点组成的所有森林的价值之和，结果对 (M) 取模。
(1leq T leq 5000,1leq M leq 2^{30} 且为素数,1leq N leq 5000)
题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/5672/I
分析
本需要用到 ( ext{prufer}) 序列的有关性质。
定义如下数组：
(f(n))：(n) 个点的森林个数
(st(n))：(n) 个点的完全图，可以构成 (n^{n-2}) 个不同的树（根据序列的性质）
在第 (n) 个点加入时，可以选择 (i) 个点与它组成一棵树，有：
[f(n)=sum_{i=0}^{n-1}{C_{n-1}^{i}·st(i+1)·f(n-i-1)}
]
(n) 个点能形成的所有无根树的权值和为 (A_n)：
枚举每一个点 (i)，再枚举这个点的度数 (j)。第 (i) 个点的度数为 (j) 的贡献 (=) (j^2) 与序列中有且仅有 (j-1) 个 (i) 的方案数之积。
[A(n)=sum_{i=1}^{n}{sum_{j=1}^{n-1}{j^2·C_{n-2}^{j-1}(n-1)^{n-j-1}}}
]
将 (i) 省略，可得：
[A(n)=nsum_{j=1}^{n-1}{j^2·C_{n-2}^{j-1}(n-1)^{n-j-1}}
]
最后，假设 (n) 个点的形成的森林的权值和为 (F_n)，类似求 (f_n) 的方法，将第 (n) 个点加入时，选择 (i) 个点和它构成一棵树，可得：
[F(n)=sum_{i=0}^{n-1}{C_{n-1}^{i}(st(i+1)·F(n-i-1)+f(n-i-1)·A(i+1))}
]
选择 (i) 个点和第 (n) 个点形成一个有 (i+1) 个点的树，与之相对应，其他的点能形成 (f(n-i-1)) 种森林，对于每一种形成方式，都能得到 (A(i+1)) 的权值贡献，因此他们需要相乘，前面的式子同理。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5050;
int f[N],F[N],A[N],st[N],c[N][N];
int M;
ll power(ll a,ll b)
{
ll res=1;
a%=M;
while(b)
{
if(b&1) res=res*a%M;
a=a*a%M;
b>>=1;
}
return res;
}
void init()
{
int maxn=5000;
for(int i=0;i<=maxn;i++)
{
c[i][0]=c[i][i]=1;
for(int j=1;j<i;j++)
c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%M;
}
st[0]=st[1]=1;
for(int i=2;i<=maxn;i++)
st[i]=power(i,i-2);
f[0]=f[1]=1;
for(int i=2;i<=maxn;i++)
{
for(int j=0;j<i;j++)
f[i]=(f[i]+1LL*c[i-1][j]*st[j+1]%M*f[i-j-1]%M)%M;
}
A[1]=0;
for(int i=2;i<=maxn;i++)
{
int res=0;
int inv=power(i-1,M-2);
int tp=power(i-1,i-1);
for(int j=1;j<i;j++)
{
tp=1LL*tp*inv%M;
res=(res+1LL*j*j%M*c[i-2][j-1]%M*tp%M)%M;
}
A[i]=1LL*i*res%M;
}
for(int i=1;i<=maxn;i++)
{
F[i]=0;
for(int j=0;j<i;j++)
F[i]=(F[i]+1LL*c[i-1][j]*(1LL*st[j+1]*F[i-j-1]%M+1LL*f[i-j-1]*A[j+1]%M)%M)%M;
}
}
int main()
{
int T,n;
scanf("%d%d",&T,&M);
init();
while(T--)
{
scanf("%d",&n);
printf("%d
",F[n]);
}
return 0;
}