我们定义一个函数$f$的支集$${ m supp}f=overline{{x:f(x) eq0}}$$
数学分析中一个常见的例子，考虑如下函数$$f(x)=left{egin{matrix}e^{-frac{1}{x^2}}&x
eq0\0&x=0end{matrix}
ight.$$我们来说明$fin C^{infty}(mathbb R)$,事实上仅需说明$f$在$x=0$处无穷次连续可微即可.直接计算显然有$$f'(x)=left{egin{matrix}frac{2}{x^3}e^{-frac{1}{x^2}}&x
eq0\0&x=0end{matrix}
ight.$$不难用数学归纳法证明当$x
eq0$时有$f^{(n)}(x)=P_nleft(frac{1}{x}
ight)e^{-frac{1}{x^2}}$,其中$P_n(t)$是$t$的多项式(事实上是$3n$次的),继续可用数学归纳法证明$$f^{(n)}(0)=lim_{x o0}frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(0)}{x}=0=lim_{x o0}f^{(n)}(x),forall ninmathbb N$$
这说明$f(x)$确实在$mathbb R$上是光滑的.\
同样的方法我们可以说明如下函数$$f(x)=left{egin{matrix}e^{frac{1}{x^2-a^2}}&|x|<a\0&|x|geq aend{matrix}
ight.$$也是$mathbb R$上的光滑函数,并且显然其支集${
m supp}f$是紧集(有界闭集).\
一般的,在复平面中设$ainmathbb C,r>0$,定义函数$$f(z)=left{egin{matrix}e^{frac{1}{|z-a|^2-r^2}}&zin B(a,r)\0&z
otin B(a,r)end{matrix}
ight.$$在整个复平面上是光滑的,并且具有紧支集.