Re.多项式除法/取模

前言

emmm又是暂无

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前置

多项式求逆

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多项式除法/取模目的

还是跟之前一样顾名思义】

给定一个多项式F(x),请求出多项式Q(x)和R(x),满足F(x)=Q(x)∗G(x)+R(x),R项数小于G,系数对998244353取模。

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多项式除法/取模主要思路

先考虑一个多项式的反转操作

就是一个多项式系数前后调换

定义这个反转的操作下标加个 _R

显然F_R(x)=xⁿF(1/x)

接着推式子

F(x)=Q(x)∗G(x)+R(x)

F(1/x)=Q(1/x)∗G(1/x)+R(1/x)

xⁿF(1/x)=x^n-mQ(1/x)∗x^mG(1/x)+x^m-1x^n-m+1R(1/x)

F_R(x)=Q_R(x)*G_R(x)+x^n-m+1R_R(x)

所以当F_R(x)=Q_R(x)*G_R(x)+x^n-m+1R_R(x)(mod x^n-m+1)

等于F_R(x)=Q_R(x)*G_R(x)(mod x^n-m+1)

那么Q_R(x)=G_R(x)*F_R(x)^-1(mod x^n-m+1)

这时求出F_R(x)在模x^n-m+1即可求出Q_R(x)

反转回来就可得Q(x)

通过R(x)=F(x)-Q(x)∗G(x)

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代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define C getchar()-48
inline ll read()
{
    ll s=0,r=1;
    char c=C;
    for(;c<0||c>9;c=C) if(c==-3) r=-1;
    for(;c>=0&&c<=9;c=C) s=(s<<3)+(s<<1)+c;
    return s*r;
}
const ll p=998244353,G=3,N=400010;
ll n,m;
ll f[N],g[N],q[N],r[N],inv[N],rev[N],c[N];
ll tmp1[N],tmp2[N];
inline ll ksm(ll a,ll b)//..快速幂 
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=(ans*a)%p;
        a=(a*a)%p;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
inline void ntt(ll *a,ll n,ll kd)//ntt日常操作 
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    if(i<rev[i])
      swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int i=1;i<n;i<<=1)
    {
        ll gn=ksm(G,(p-1)/(i<<1));
        for(int j=0;j<n;j+=(i<<1))
        {
            ll t1,t2,g=1;
            for(int k=0;k<i;k++,g=g*gn%p)
            {
                t1=a[j+k],t2=g*a[j+k+i]%p;
                a[j+k]=(t1+t2)%p,a[j+k+i]=(t1-t2+p)%p; 
            }
        }
    }
    if(kd==1) return;
    ll ny=ksm(n,p-2);
    reverse(a+1,a+n);
    for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*ny%p;
}
inline void cl(ll *a,ll *b,ll n,ll m,ll len,ll w)//处理 
{
    for(int i=0;i<len;i++) tmp1[i]=i<n?a[i]:0;//复制 清空多余//因为tmp被使用多遍 而在做ntt时 用的是长度为len的
    for(int i=0;i<len;i++) tmp2[i]=i<m?b[i]:0;//而有效的值只有它的得出的长度 后面其它的在模意义下都被清掉了 但之前在写的时候有的地方并没有清
                                              //为了避免出错所以一定要清空 (在这个代码里)//..不要打成 i<n?tmp1[i]=a[i]:0;...只有像我这种蒟蒻才会犯这种错误吧 
    for(int i=0;i<len;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(w-1));//蝴蝶 
}
inline void polyinv(ll *a,ll *b,ll ed)//递推版  
{
    b[0]=ksm(a[0],p-2);//设初始值  a*b=1(mod=x)b的值 
    for(int k=1,j=0;k<=(ed<<1);k<<=1,j++)//从两个长度为k的多项式a,b递推  
    {//!!因为这份代码的递推算的是 两个长度为a的多项式在模（m^k)次下的逆元
     //所以如果直接用ed为条件只会推出小于ed的逆元 所以ed要再乘一倍 
     //所以多项式总共需要的范围要为4倍所以N要4倍 
        ll len=k<<1;             //len 两式子计算后大小 
        cl(a,b,k,k,len,j+1);//处理//j+1 要看len调整 因为len乘上了一倍 所以j在处理时也要加上1 之前没有加被坑了好久 
        ntt(tmp1,len,1);ntt(tmp2,len,1);//注意不要直接用a,b算 因为ntt后原多项式的值会变 为了方便所以先复制一遍在用复制的多项式算 
        for(int i=0;i<len;i++) b[i]=tmp2[i]*(2ll-tmp1[i]*tmp2[i]%p+p)%p;//求逆
        ntt(b,len,-1);
        for(int i=k;i<len;i++) b[i]=0;//清空会被模的 //!!!不能删 因为下次递推是直接把0--len都作为有用的做下次运算了  
    }
}
inline void polymul(ll *a,ll *b,ll *c,ll n,ll m)//计算多项式相乘 
{
    ll len=1,w=0;
    while(len<=(n+m)) len<<=1,w++;
    cl(a,b,n,m,len,w);//这里的次数(w)不用加1因为两者都是同不改变的 
    ntt(tmp1,len,1);ntt(tmp2,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++) c[i]=tmp1[i]*tmp2[i]%p; 
    ntt(c,len,-1);
}
inline void work()  //f=q*g+r  ask q,r     f,g下标从0--n,0--m 
{

    reverse(f,f+1+n);//对应各式的反转操作 
    reverse(g,g+1+m);

    polyinv(g,inv,n-m+1);//求逆  因为反转后使r能够被忽略所以是在模x^(n-m+1)意义下的, 所以只要算出g在模x^(n-m+1)下的逆元 
    polymul(f,inv,q,n+1,n-m+1);//计算q 

    reverse(q,q+n-m+1);//将原式反转回来 
    reverse(f,f+n+1);
    reverse(g,g+m+1);

    polymul(g,q,r,m+1,n-m+1);//计算q*g的值 
    for(int i=0;i<m;i++) r[i]=(f[i]-r[i]+p)%p;//相减算出r 
}
int main()//注意输入的多项式是 0--n 和0--m 不是长度为n,m; 
{
    n=read(),m=read();    //读入 
    for(int i=0;i<=n;i++) f[i]=read();
    for(int i=0;i<=m;i++) g[i]=read();
    work();
    for(int i=0;i<=n-m;i++) printf("%lld ",q[i]);printf("
");//输出 
    for(int i=0;i<m;i++)    printf("%lld ",r[i]);
    return 0;
}