快速幂算法

在计算形如a^b的运算时，如果用朴素的算法需要O(b)的时间复杂度，当b很大时显然是不可取的，于是我们希望找到一种快速的算法来计算，尤其是题目中要求答案取模时。

对于朴素的算法我们有

ans=1;

for(int i=1;i<=b;i++) (ans*=a)%=mod;

我们可以简单优化一下，在循环之前加入a%=mod；

 

当b为偶数时我们可以这样

int ans=1;

a%=mod;

(a*=a)%=mod;

for(int i=1;i<=b/2;i++)

{

(ans*=a)%=mod;

}

当b为奇数时需要特判

int ans=1;

a%=mod;

if(b&1) ans*=a;

(a*=a)%=mod;

for(int i=1;i<=b/2;i++)

{

(ans*=a)%=mod;

}

这样做可以将时间减半。

 

我们甚至可以这样

int ans=1;

a%=mod;

if(b&1) ans*=a;

(a*=a)%=mod;

b/=2;

if(b&1) (ans*=a)%=mod;

(a*=a)%=mod;

b/=2;

for(int i=1;i<=b;i++) (ans*=a)%=mod;

 

那么我们自然会想到，如果时间可以减半，减半，再减半，那么时间复杂度可以降到O(log n).

实现方法也很简单，就是把上述步骤迭代多次。

代码如下：

 

int ans=1;
a%=mod;
while(b)
{
    if(b&1) (ans*=a)%=mod;
    b/=2;//可以知道任何一个大于1的数经历多次这步均可以达到b=1，所以不用担心ans最后得不到a的值
    (a*=a)%=mod;
} 

典型例题：NOIP201305转圈游戏