威尔逊定理

2016.1.26

 

威尔逊定理证明：当且仅当p为质数，p可整除(p-1)!+1

 

（1）充分性证明：

First : 先把奇奇怪怪的取值试验一下

          若p=2，成立；

          若p=3，成立；

          那么我们就开始研究p>=5的情况

 

Second : 我们先来证明几个结论

              设A = {2,3,4,……,p-2}   设a∈A

              记B = {a,2a,3a,……,(p-1)a}

       

             【B中不会有取模p同余的数……………………………………结论1

              证明：设b₁a,b₂a∈B,  b_2,b₁∈[1,p-1]上不同两数

              假设b₁a≡b₂a (mod p)

              则|b₁-b₂|a≡0 (mod p)

              然而|b₁-b₂|∈[1,p-2]

              所以|b₁-b₂|a∈B

              然而B中显然没有数能被p整除，所以题设不成立

              所以结论1得证

              由于B中有p-1个元素，非p倍数模p余数也只有p-1种，所以B中模p余数构成集合C={1,2,3,…,p-1} 】

 

             【B中被p除余1的数是ba，b∈A且b!=a…………………..结论2

              证明：若b=1，则ba=a，由于a∈A，所以a!=1,不成立

              若b=p-1,则(p-1)a≡p-a(mod p), 由于a∈A，所以p-a∈[2,p-2],不成立

              若b=a，则a²≡1(mod p),所以(a+1)(a-1)+≡0(mod p),因为p是素数，所以(a+1)和(a-1)中有且只有一个是p的倍数. 由于a∈A,所以

               (a+1)∈[3,p-1],(a-1)∈[1,p-3],所以他俩都不可能是p的倍数

              结论2得证 】

       

             【接着结论2，若a不同，b也不同…………………………结论3

              证明：设a1!=a2,但都属于A,且ba1≡ba2≡1(mod p)

              易知ba1,ba2∈B，而根据结论1，则不成立

              结论3得证】

 

Third : 证明了这么多结论，那么这个定理也基本浮出水面了

           结论1告诉了我们B中对于每一个a都有唯一一个b∈[1,p-1]使得ab≡1(mod p)

           结论3升华了结论1，将b的范围缩至b∈[2,p-2],且不会使a=b.也就是说，在[2,p-2]中每个数都可以找到一个与之唯一对应的逆元

           (注：p显然是偶数，所以该区间内可以将所有整数分成一对儿一对儿的)，且该逆元属于[2,p-2]。

           所以(p-1)!+1≡(p-1)+1≡0(mod p)

 

（2）必要性证明：

已知(p-1)!≡-1(mod p)

若p不是素数，则p的约数在[2,p-1]内，则(p-1)!的真约数d>1,由于(p-1)!≡-1(mod p)，所以(p-1)!≡-1(mod d).

而d<p,所以(p-1)!≡0(mod d).矛盾.

得证