1531: [POI2005]Bank notes二进制优化（c++）

Description

Byteotian Bit Bank (BBB) 拥有一套先进的货币系统,这个系统一共有n种面值的硬币,面值分别为b1, b2,..., bn. 但是每种硬币有数量限制,现在我们想要凑出面值k求最少要用多少个硬币.

Input

第一行一个数 n, 1 <= n <= 200. 接下来一行 n 个整数b1, b2,..., bn, 1 <= b1 < b2 < ... < b n <= 20 000, 第三行 n 个整数c1, c2,..., cn, 1 <= ci <= 20 000, 表示每种硬币的个数.最后一行一个数k – 表示要凑的面值数量, 1 <= k <= 20 000.

Output

第一行一个数表示最少需要付的硬币数

Sample Input

3
2 3 5
2 2 1
10

Sample Output

3

解析：非常典型的多重背包，不考虑其他的，f[i][j]表示在前i种硬币下，要凑到j元最少需多少个硬币。动态转移方程为：f[i][j]=min(f[i-1][j-x[i]]+1,f[i-1][j]);（x[i]为当前硬币的价值）(当然我们可以用动态数组来优化降到一维)；

这样只要把它完全转换成01背包就可以了。可是会发现在这道题目上直接变成01会超时，所以又要用到二进制来优化！

大家都知道，2的幂的和可以表示幂之下的任何数，比如2的5次方之下的正数，就可以用1,2,4,8,16来的任意组合的和来表示。那么对于硬币数量只要把它分成2的幂的和，就可以组成所有可能性。举个例子18可分为1,2,4,8,再加上不为2的幂的3，便可组成小于18的所有自然数，枚举所有可能性，那么原来18个选择变成了1,2,4,8,3五个选择，这不过五个选择的价值不同而已。通过这样会大大缩小01背包。好啦，具体看程序。

#include<iostream>
#include<cstdio>
int num,n,k,now,t,b[40000],x[40000],y[40000],a[4000005],f[4000005];
using namespace std;
int min(int x,int y)
{
    if (x>y) return y;
    return x;
}
int main()
{
  cin>>n;
  num=0;
  for (int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
  for (int i=1;i<=n;i++) 
  {
      cin>>b[i];//输入这种硬币的数量
      t=1;//枚举2的几次幂
      while (t*2-1<b[i])//如果目前为止枚举的所有2的幂的和小于总硬币数的话
    {
      num+=1;//数组长度
      x[num]=t*a[i];//我们就把枚举的t件物品变成一件，x储存t件原物品即现在这件物品的价值
      y[num]=t;//这件物品所代表的硬币数量
      t=t*2;//去枚举另外一个2的幂
    } 
    num+=1; 
    y[num]=b[i]-(t-1);//剩下还有几个硬币也算作一件，如举例中3这个数。
    x[num]=y[num]*a[i];//剩下这件物品的价值
  }
  cin>>k;
  //for (int i=1;i<=num;i++) cout<<x[i]<<' '<<y[i]<<endl; 
  for (int i=0;i<=k;i++) f[i]=1000000005;
  f[0]=0;
  for (int i=1;i<=num;i++)
  for (int j=k;j>=x[i];j--)//注意倒写
  f[j]=min(f[j-x[i]]+y[i],f[j]);//最好滚动数组降维
  
  cout<<f[k]<<endl;
  return 0;
}

恩，写完了。