欧拉回路

欧拉回路：图G经过每条边一次且仅一次的回路称为欧拉回路

欧拉路径：图G经过每条边一次且仅一次的路径称为欧拉路径

定理：

无向图

（1）无向图G为欧拉图，当且仅当G为连通图，且所有点的度数为偶数；

（2）无向图G为半欧拉图，当且仅当G为连通图，且除了两个节点的度数为奇数外，其他节点的度数均为偶数。

有向图

（1）有向图G为欧拉图，当且仅当G的基图为连通图，且所有顶点的入度与出度相同。

（2）有向图G为半欧拉图，当且仅当G的基图为连通图，且存在顶点u的入度比出度大1，v的入度比出度小1，其他顶点的入度与出度相同。

欧拉回路的求解方法：

（1）递归：

伪代码：
Euler(start);

　　For顶点start的每个邻接点v

　　IF边（start，v）未被标记Then{

　　　　将边（start，v）标记；

　　　　将边（v,start）标记；

　　　　Euler（v）；

　　　　将（start，v）边加入栈S；

　　}

void dfs(int u) //记录节点（会缺少第一个起点） 
{
    for(int &i=head[u];i;i=next[i]){
        int tp=ver[i];
        if(!vis[i]){
            vis[i]=vis[i^1]=1;
            dfs(tp);
            ans[++t]=tp;
        }
    }
}

（2）非递归：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn = 100100;
int head[maxn],ver[maxn],next[maxn],vis[maxn],tot;
int sk[maxn],ans[maxn],m,n,top,t;
void add(int x,int y)
{
    ver[++tot]=y;next[tot]=head[x];head[x]=tot;
} 
void euler() //非递归写法 
{
    sk[++top]=1; //记录起始节点 
    while(top>0){
        int x=sk[top];
        int i=head[x];
        while(i&&vis[i]) i=next[i];  //找到一条未访问的路径 
        if(i){  //沿着这条路递归 
            sk[++top]=ver[i];
            head[x]=next[i];
            vis[i]=vis[i^1]=true; //双向边，所以更新两个 
        }
        else{ //模拟回溯，记录结果
            top--;
            ans[++t]=x;
        }
    }
}
int main(void)
{
    cin>>n>>m;
    tot=1;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);add(y,x);
    }
    euler();
    for(int i=t;i;i--) printf("%d ",ans[i]);
    return 0;
}
/*
6 9
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 1
1 3
3 5
1 5
*/

欧拉回路与哈密尔顿圈问题：

欧拉回路是不重复的经过图中的每一条边；

哈密尔顿圈是不重复的经过图中的每一个顶点；

建模：解决实际问题时要尽量转换为欧拉回路的问题，而不是哈密尔顿圈问题，因为哈密尔顿圈问题没有有效的算法。