稀疏自动编码之梯度检验

众所周知，反向传播算法很难调试和得到正确结果，特别是在执行过程中存在许多细小难以察觉的错误。这里介绍一种方法来确定代码中导数的计算是否正确。使用这里所述求导检验方法，可以帮助提升写正确代码的信心。

假设我们想最小化关于  的函数   . 对于这个例子，假设 ，所以 . 在一维空间，梯度下降的一次迭代公式如下：

假设我们已经实现了某个函数  去计算 ，那么梯度下降时参数更新就可以这样：. 该如何检验我们编写的函数  是正确的呢？

回忆导数的定义：

对于任意的  ，可以用如下公式来从数值上近似导数值：

在实践中，将  EPSILON 设定为一个极小的常数，如 .（虽然EPSILON可以取得极其小的值，如，但这样会导致数值舍入误差），通常就足够了。

现在，给定假设中计算  的函数  ，我们可以通过如下方式检验该函数的正确如否：

到底这两个值接近到什么样的一个程度才算正确呢？要取决于  的具体形似。但是假定 , 通常我们会发现上述式子左右两边的值至少有4位有效数字是一样的（甚至更多）。

现在，考虑 ，即参数是一个向量而不是一个实数（所以需要学习出  个参数），且. 在我们的神经网络例子中使用符号, 所以我们可以想象把这许多参数   全部装进一个很长的向量 . 现在，就把导数检验过程泛化到  是向量的情况。

假设我们编写了一个函数  计算导数 ，我们想要检验  是否正确地计算出了导数值. 令，其中：

是第  个基向量（维数与  一样，只有第  个元素为1，其他位置元素全部为0）.所以对于 ，除了第  个元素比的第  个元素多加了EPSILON，其他元素完全一样。类似地有：.然后就可以通过检查下面式子的正确与否来检验  的正确性：

 当用反向传播去训练神经网络时， 正确执行的算法可以得到：

这展示在

稀疏自动编码之反向传播算法（BP）

的梯度下降伪代码中.通常用上面的方法计算出  的导数值，通过它检验我们程序中  和  是否确实计算出了我们想要的到数值。

 学习来源：http://deeplearning.stanford.edu/wiki/index.php/Gradient_checking_and_advanced_optimization